Definițiile și formulele sunt vectori liniar dependente și independente
Un set de vectori este un sistem vector.
O combinație liniară a sistemului vector este o expresie a formei
O combinație liniară (1) se numește banală. în cazul în care toți coeficienții săi sunt egale cu zero în același timp:
în caz contrar, dacă cel puțin unul dintre coeficienții nu egal cu zero, atunci o combinație liniară (1) este non-triviale.
De exemplu. combinație netrivială liniară a sistemului vector este o expresie a formei
Vectorii sunt numite liniar independente. cu excepția cazului în combinația liniară trivială este vectorul zero.
Vectorii se numesc liniar dependente. dacă cel puțin una dintr-o combinație liniară non-trivială este vectorul zero.
Proprietățile liniar dependente și vectori liniar independenți
- Dacă sistemul vector include un vector de zero, atunci este liniar dependent.
- Dacă sistemul vector are doi vectori egali, este dependentă liniar.
- Dacă sistemul vector cuprinde doi vectori și proporțional, este dependentă liniar.
- a sistemului de vectori este liniar dependent dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii este o combinație liniară a celorlalte.
- Dacă sistemul este liniar vectori independenți și după aderarea la vectorul, devine dependent liniar, atunci vectorul poate fi extins în vectorii acestui sistem într-un mod unic.
Exemple de rezolvare a problemelor
Vectorii cunoscuți care sunt liniar independenți. Va vectori liniar independenți?
Din cauza stării vectorilor sunt liniar independente, pentru ei există o combinație liniară trivială zero, egal cu zero VetKor:
Formam o combinație banală liniară de vectori:
Colecta coeficienții de vectori și:
Prin compararea rezultat combinarea trivială liniare cu (2), putem concluziona că
Sistemul omogen de ecuații liniare are o soluție nontrivial dacă determinantul său matricei este egal cu zero. Calculăm acest determinant:
Astfel, sistemul omogen înregistrat are doar soluția banală, adică. Și apoi o combinație liniară de vectori, și ia forma:
Deoarece numai la zero combinație liniară este vectorul zero, iar vectorii sunt liniar independenți.
Exploreaza sistemul de vectori într-o relație liniară.
Trei vectori sunt liniar dependente, dacă acestea sunt coplanare. vectori troicii vor fi coplanare dacă produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero:
Cu alte cuvinte, produsul mixt este non-zero, atunci vectorii sunt non-coplanare, iar apoi acestea sunt liniar independente.