Sarcina principală a calculului diferențial a fost calculul derivatului sau diferențiala unei funcții date. calcul integral la studiul pe care ne mișcăm, rezolvă problema inversă, și anume, găsirea funcției derivatului sau diferențială. Adică, având dF (x) = f (x) d (7.1) sau F „(x) = f (x)
unde f (x) - o funcție cunoscută, este necesar să se găsească funcția F (x).
Presupunem în continuare că egalitatea (7.1) se realizează pe un interval finit sau infinit. Funcția necunoscută F (x) este o funcție primitivă în raport cu funcția (x) f. Astfel, putem scrie următoarea definiție.
Definiție: Funcția F (x) se numește o funcție primitivă f (x) în intervalul [a, b], în cazul în care, la toate punctele acestui segment, egalitatea: F „(x) = f (x) sau dF (x) = f (x ) d.
De exemplu. unul dintre primitivele funcțiilor funcției f (x) = 3x 2 este F (x) = x 3 ca (3 x) = 3x 2 pervooobraznoy Dar pentru funcția f (x) = 3x 2 va funcționa, de asemenea, u. deoarece .
Astfel, funcția f (x) = 3x 2 are un pervooobraznyh set infinit, fiecare dintre care diferă numai printr-un termen constant. Arătăm că acest rezultat deține, în cazul general.
Teorema Două primitivelor diferite ale aceleiași funcții definite într-un interval, diferă unul de altul, în acest interval de un termen constant.
unde C - o constantă (consecință folosit aici de teorema lui Lagrange).
Teorema astfel dovedită.
ilustrare geometrică. Dacă y = F1 (x) și y = F2 (x) - primitivelor aceleiași funcții f (x). tangenta la punctele graficelor cu o comună abscisa x paralele între ele (fig. 7.1).
În acest caz, distanța dintre aceste curbe de-a lungul axei y este F2 constantă (x) - F1 (x) = C. adică, aceste curbe sunt într-un anumit sens „paralele“ unul de altul.
Adăugarea la unele primitive F (x) pentru funcția f (x). definite pe un interval X toate constantele posibile C obținem toate primitivele posibile ale funcției f (x).
Astfel, expresia F (x) + C. în cazul în care. și F (x) - o funcție primitivă f (x) include toate primitivele posibile pentru f (x).
Exemplul 1. Verificarea dacă funcția de a funcționa antiderivatives
Răspuns. primitivele pentru o funcție de funcție și voință
Definiție: Dacă o funcție F (x) este o primitivă pentru funcția f (x), pluralitatea de primitivelor F (x) + C este numit integral nedefinită f (x) și reprezintă:
f (x) - integrantul,
f (x) dx - integrantul
Rezultă integral chtoo nedefinită este o funcție de forma generală, diferența este egal cu integrandul, în cazul în care un derivat al variabilei x este egal cu integrantul la toate punctele.
Din punct de vedere geometric integralei nedefinită este o familie de curbe, fiecare dintre care este obținut prin deplasarea una dintre curbele paralele cu ea însăși în sus sau în jos, adică de-a lungul axei y (fig. 7.2).
Operația de calcul a integralei nedefinită a unei funcții este integrarea acestei funcții.
Rețineți că, dacă derivata funcției elementare este întotdeauna o funcție elementară, pervooobraznaya de funcții elementare nu pot fi reprezentate de un număr finit de funcții elementare.
Să luăm acum în considerare proprietățile integralei nedefinită.
Definiție 2 urmează:
1. Derivatul integralei nedefinită este egal cu funcția integrantul, adică, în cazul în care F „(x) = f (x).
2. Diferențialul este de integrantul integral nedeterminată
Din definiția proprietăților și diferențial (7.3)
3. Integrala nedefinită a diferențiala unei funcții este funcția sa într-un termen constant, adică, (7,5)
Valabilitatea (7.5) poate fi verificată cu ușurință prin diferențierea (diferențele de ambele părți sunt egale).
Formulele Zamechaniya.V (7,4) și (7,5) și semne care sunt acolo, se distrug reciproc (dacă ignorăm termenul constant (7,5)). În această înțelegere diferențierea și integrarea sunt operații matematice inverse.
4. Un factor constant nenul poate fi luat ca un semn al unei nedefinită integrală, adică, în cazul în care.
Proprietatea este verificată prin diferențierea ambelor părți.
5. Integrala suma algebrică a două funcții este suma integralelor acestor funcții, adică (7,7)
Pentru a dovedi acest lucru trebuie să luăm, de asemenea, derivatul de ambele părți și asigurați-vă că acestea sunt egale.
Această proprietate rămâne valabil și pentru orice număr finit de termeni.
În calculul integralelor nedefinite este util să se aplice următoarele reguli:
Regulile sunt dovedite prin diferențierea dreapta și la stânga laturi a (7.8-7.10).