Definiție 1. În cazul în care fiecare valoare n din setul de numere naturale este asociat cu o lege bine definit un număr real. setul de numere reale se numește o secvență numerică numerotate.
- membri ai secvenței - o secvență de prescurtare. Ex.
Definiție 2. Având în vedere cele două secvențe și. Secvențele sunt numite suma, diferența, produsul și raportul dintre secvențe și.
Definiție 3. O secvență este limitată. în cazul în care setul membrilor săi este limitată, și anume, există un număr. astfel încât. O secvență este mărginită de mai sus (mai jos). în cazul în care există un număr M astfel încât.
Dacă secvența este nemarginit, atunci pentru orice număr există un număr n astfel încât. În mod evident, în cazul în care secvența este mărginită numai de mai jos sau chiar mai sus, este nelimitată. Printre secvențe nemarginite alege infinit de mare.
Definiție 4. O secvență este infinit. dacă pentru orice există N. număr astfel încât pentru toți.
Fiecare secvență de infinit de mare este nelimitat, dar nu orice secvență nelegata infinit de mare. Un exemplu în acest sens este secvența.
5. Determinarea secvenței numite infinitezimal. dacă pentru orice există N. număr astfel încât pentru toți.
Stabilim proprietățile de bază ale secvențelor infinit mici.
Teorema 1. Suma a două secvențe este secvența infinitezimal infinitezimal.
Dovada. Să - secvența infinitezimal. Ia-o arbitrar și set. Prin definiție acolo pentru 5 camere și. astfel încât pentru toți și pentru toți. Să. Apoi, pentru toți și, prin definiție, 5 secvență infinitezimal. Acest lucru dovedește teorema.
Teorema 2. Diferența dintre cele două secvențe este secvența infinitezimal infinitezimal.
Corolar. Suma algebrică a oricărui număr finit de secvențe infinit mici este o secvență infinitezimal.
TEOREMA 3. Produsul secvenței delimitată de o secvență infinitezimal este o secvență de infinitezimal.
(Puteți instrui elevii să dovedească Teorema 2, 3, și în consecință, pe cont propriu).
Teorema 4. Fiecare secvență infinitezimal este mărginită.
Dovada. Să - secvența infinitezimal. Să. Prin definiție, există un număr de 5 N. astfel încât pentru toți. Notăm. Apoi, pentru orice n. Acest lucru dovedește teorema.
Corolar Teoremele 3 și 4. Produsul a două (orice număr finit) secvențe infinitezimal este o secvență infinitezimal.
Teorema 5. Dacă toți membrii secvenței infinitezimal sunt egale cu același număr de secunde. atunci.
Dovada. Să presupunem contrariul, și anume, asta. Ia. Prin definiție, există un număr de 5 N. astfel încât pentru toți. și anume pentru toți. iar acest lucru nu poate fi, deoarece pentru orice n. Această contradicție demonstrează teorema.
Teorema 6. Dacă - secvență de infinit de mare este - secvența infinitezimal.
Dovada. Ia-o arbitrar și set. Apoi, prin definiție, există un număr N. 4 astfel încât pentru toate valorile. Prin urmare, pentru toți. și anume - secvența infinitezimal prin definiție 5. Teorema.
Teorema 7. În cazul în care - o secvență infinitezimal și toți membrii secvenței sunt diferite de zero, atunci secvența - infinit de mare (ma dovedesc).