Adăugarea a doi vectori
Ia-un punct arbitrar O și construi un vector $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $. Apoi, de la punctul A decaleze vector de $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $. Vector $ \ $ overrightarrow, conectarea la începutul primului mandat al vectorului de la sfârșitul celui de al doilea (Figura 1, b) se numește suma acestor vectori și notată $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $$ (de obicei, un triunghi).
Aceeași cantitate de vectori pot fi obținuți în orice alt mod. Concedia din vectori O $ \ overrightarrow = \ overrightarrow \ și \, \ overrightarrow = \ overrightarrow $ (Figura 1, B). Noi construim acești vectori de ambele părți ale OABC paralelogramului. Vector $ \ $ overrightarrow, servind o diagonală a acestei paralelogram trase din punctul O, este, evident, o sumă de vectori $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $ paralelogram regulă). Figura 1 prezintă, în sine, implică faptul că suma a doi vectori are proprietatea de comutativitate: $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow $
Într-adevăr, fiecare dintre vectorii $ \ overrightarrow + \ overrightarrow \ și \, = \ overrightarrow + \ overrightarrow $ este egal cu unul și același vector $ \ overrightarrow $.
Exemplul 1. Într-un triunghi ABC AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90 °. Găsiți: $ a) \, \ \ overrightarrow + \ overrightarrow; \, \, \ b) \, \ | \ overrightarrow + \ overrightarrow | $.
a) Avem: $ | \ overrightarrow | = AB, \, \, \ | \ overrightarrow | = BC $ și, prin urmare, $ | \ overrightarrow | + | \ Overrightarrow | = $ 7.
b) Deoarece $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow \, \ ,, \, \, apoi \, \, | \ overrightarrow + \ overrightarrow | = | \ Overrightarrow | = AU $.
Acum, aplicând teorema lui Pitagora, vom găsi $$ AC = \ sqrt = \ sqrt = 5 adică \\ \, | \ overrightarrow + \ overrightarrow | = 5 $$
Suma Vectorul concept poate fi generalizat la orice număr finit de vectori summands.
Să presupunem, de exemplu, sunt trei vectori $ \ overrightarrow, \ overrightarrow \ și \, \ overrightarrow $ (Fig.2).
Adăugarea a trei vectori
Construirea o primă sumă de vectori $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $. și apoi adăugarea la această sumă vectorul $ \ $ overrightarrow, obținem $ vector (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow $. Figura 2 $$ \ overrightarrow = \ overrightarrow \,; \ Overrightarrow = b \,; \ Overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow \,; \ Overrightarrow = \ overrightarrow \\ și \\ \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow = (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow $$ Figura 2 arată că același vector $ \ $ overrightarrow vom obține, în cazul în care un vector $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $ adăuga vector $ \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow $. Astfel, $ (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow = \ overrightarrow + (\ overrightarrow + \ overrightarrow) $. t. e. suma vectorilor are proprietatea asociative. Prin urmare, suma de trei vectori $ \ overrightarrow \ ,, \, \ overrightarrow \ ,, \, \ overrightarrow $ a scrie pur și simplu $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow $.
Diferența dintre doi vectori $ \ overrightarrow \, și \, \ overrightarrow $ este numit un al treilea vector $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow $. valoarea pe care un vector de deductibile $ \ $ overrightarrow dă un vector de $ \ overrightarrow $. Astfel, în cazul în care $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow \ ,, \, apoi \, \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.
Din definiția sumei a doi vectori de obicei urmează construirea diferență vector (Figura 3).
Amână vectorii $ \ overrightarrow = \ overrightarrow \ și \, \ overrightarrow = \ overrightarrow $ dintr-un punct comun A. Vectorul $ \ overrightarrow $. care leagă capetele diminuarii vectorului $ \ $ overrightarrow și subtracts vectorul $ \ $ overrightarrow și regizat de deductibile pentru a micșora, o diferență de $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow $. Într-adevăr, în conformitate cu regula vector plus $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow \ textul \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.
Exemplul 2 laturi ale unui triunghi echilateral ABC este egală cu un. Găsiți: $ a) | \ overrightarrow - \ overrightarrow | \ ,; \, \ b) \, \, \ | \ overrightarrow - \ overrightarrow | $.
Soluția de rezolvare a) Deoarece $ \ overrightarrow - \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text | \ overrightarrow | = Un \ de text | \ overrightarrow - \ overrightarrow | = A $.
b) De la $ \ overrightarrow - \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text | \ overrightarrow | = Un \ de text | \ overrightarrow - \ overrightarrow | = A $.
Vectorul produs $ \ overrightarrow $ (notat $ = \ lambda \ overrightarrow $ sau $ \ overrightarrow \ lambda $) pe numărul real de $ \ lambda $ este vectorul $ \ overrightarrow $, coliniare vector $ \ overrightarrow $, având o lungime egală cu $ | \ lambda || \ overrightarrow | $, și în aceeași direcție ca și vectorul $ \ $ overrightarrow, în cazul în care $ \ lambda> 0 $. și direcția opusă direcția vectorului $ \ $ overrightarrow, în cazul în care $ \ lambda <0$. Так, например, $2\overrightarrow$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow$. а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow$ (рис.4).
Multiplicarea unui vector de un număr de
În cazul în care $ \ lambda = 0 $ sau $ \ overrightarrow = 0 $. produsul de $ \ lambda \ overrightarrow $ este un vector de zero. La polul opus vector $ - \ overrightarrow $ poate fi considerată ca fiind rezultatul înmulțirii unui vector $ \ overrightarrow $ la $ \ lambda = -1 $: $$ - \ overrightarrow = \ (-1) \ overrightarrow $$ Evident (vezi Fig.4.) că $ \ overrightarrow + (- \ overrightarrow) = \ overrightarrow $.
Exemplul 3. Pentru a demonstra că, dacă G, A, B și C - punct arbitrar, $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow = 0 $.
Decizie. Suma vectorilor $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $. vector de $ \ overrightarrow $ - opusă vectorului $ \ overrightarrow $. Prin urmare, $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.
Având în vedere un vector de $ \ overrightarrow $. Luați în considerare vectorul unitate de $ \ overrightarrow $. coliniare vectori $ \ $ overrightarrow și la fel îndreptate spre el. Din definiția de multiplicare a unui vector de către un număr, rezultă că $$ \ overrightarrow = | \ overrightarrow | \, \ \ overrightarrow $$. și anume fiecare vector este produsul modulului său pe un vector unitate în aceeași direcție. În plus, din aceeași definiție implică faptul că, dacă $ \ overrightarrow = \ lambda \ overrightarrow $. unde $ \ $ overrightarrow - vector nenul, vectorii $ \ overrightarrow \ și \, \ overrightarrow $ coliniare. Este evident că, în schimb, de la coliniar vectorii $ \ overrightarrow \, și \, \ $ overrightarrow implică faptul că $ \ overrightarrow = \ lambda \ overrightarrow $.
Exemplul 4 AB lungimea vectorului este de 3, lungimea vectorului AC este egal cu 5. cosinusul unghiului dintre acești vectori este 1/15. Găsiți lungimea vectorului AB + AC.