Ecuația Canonical a hiperbola
Un hiperbolă este mulțimea tuturor punctelor în plan, diferența dintre distanțele de la fiecare modul în care cele două puncte de date de pe acest plan, numit focare. este o constantă mai mică decât distanța dintre focare.
Notăm F1 și F2 prin focarele o distanță între ele prin 2c. un depozitele de module diferență de distantele de la fiecare punct la focarele hiperbola prin 2a. Prin definiție 2a <2с. т. е. a Pentru a selecta ieșirea din B Stem ecuația hiperbolă coordonatele, astfel încât F1 și F2 au fost focarele pe axa și originea care coincide cu punctul de mijloc F1 F2 (vezi. Fig. 53). Apoi trucuri vor avea coordonatele și Să - un punct arbitrar de hiperbolă. Apoi, în conformitate cu definiția, divizarea sau hiperbolă, adică, . După simplificări, așa cum sa făcut în derivarea ecuației elipsei, obținem ecuația canonică a hiperbola Hiperbola este o linie de ordinul al doilea. Formele de studiu ale hiperbolă în ecuația lui Stabilirea forma hiperbolă, folosind ecuația lui kakonicheskim. 1. Ecuația (11.9) conține x și y numai chiar puteri. Urmeaza-secventa, hiperbolă este simetric în jurul axelor și precum și în raport cu punctul, care se numește centrul hiperbola. 2. Găsiți punctul de intersecție al hiperbola cu axele de coordonate. Punerea în ecuația (11.9), vom găsi cele două hiperbolelor punctul de intersecție cu axa și. În (11,9), vom vedea ce nu poate fi. În consecință, axa hiperbola intersectează Oy. Punctele sunt numite noduri și hiperbolă, și segmentul axa reală. segment - axa reală a hiperbola. Un segment care leagă punctul și numita axa imaginară. număr b - axa imaginară. Dreptunghi cu laturi 2a si 2b numit hiperbola dreptunghi de bază. 3. Din ecuația (11.9), care reduce cel puțin o tonă. E. Asta fie. Acest lucru înseamnă că punctul de hiperbola la dreapta liniei (ramura dreapta a hiperbola) și stânga liniei (ramura stângă a hiperbola). 4. Din ecuația (11.9) hiperbola se poate observa că atunci când crește, crește apoi. Acest lucru rezultă din faptul că diferența rămâne constantă, egală cu unu. Rezultă din cele de mai sus, care are forma unui hiperbolă prezentată în Figura 54 (curba constând din două ramuri nemărginite). L asimptotă Direct numit curba infinit K, în cazul în care distanța d de la punctul K M a curbei liniei tinde spre bine lu unconfined Punct de îndepărtare M K a lungul curbei de origine. In Figura 55 este o ilustrare a conceptului de asimptota: linia L este asimptota la curba K. Arătăm că o hiperbolă are două asimptote: Deoarece liniile (11.11) și hiperbola (11,9) sunt simetrice în raport cu axele de coordonate, este suficient să se ia în considerare numai acele puncte ale acestor linii, care sunt situate în primul trimestru. Să considerăm un punct de pe linia N având aceeași abscisă x ca punct de pe hiperbola (vezi fig. 56), găsim diferența și # 924; # 925; -Ter între Ordin directă și hiperbolă: După cum se poate observa, odată cu creșterea crește x numitor; numărătorul - este constantă. Prin urmare, lungimea segmentului # 924; # 925; Acesta tinde la zero. deoarece # 924; # 925; mai mare decât distanța d de la punctul # 924; la linia, apoi d și chiar mai bine angajamentul de a-lu. Astfel, liniile sunt asymptotes ale hiperbola (11,9). La construirea unui hiperbolă (11,9), este recomandabil să se construiască mai întâi un novnoy hiperbolă dreptunghiular (. Vezi figura 57.), Hold liniile care trec prin colțurile opuse ale dreptunghiului - asimptote hiperbola și marca de top și hiperbolă. Ecuația unui hiperbolă echilateral. în care axele de coordonate sunt asymptotes Hiperbola (11.9), se numește echilateral dacă semiaxes sale (). ecuația canonică Asymptotes sunt ecuații hiperbola echilaterale și, prin urmare sunt Bisectoarele coordonatelor unghiurilor. Să considerăm ecuația hiperbola în noul sistem de coordonate B (vezi. Fig. 58) obținut dintr-un rotitoare vechi axe de coordonate de unghiul. Utilizați axe de rotație cu formula: Înlocuind valorile lui x și y în ecuația (11.12): Ecuația hiperbolă echilateral, pentru care, Ox și Oy sunt asimptote, va avea forma. Pentru mai multe informații despre hiperbolă hiperbolă excentricitate (11,9) este raportul dintre distanța dintre focii la magnitudinea axei reale a hiperbola, notat # 949;: Deoarece hiperbola, excentricitatea hiperbola este mai mare decât unu :. Excentricitatea caracterizează forma hiperbolă. Zi-și neavenit, rezultă din (11.10) rezultă că și anume și. Se poate observa că excentricitatea mai mici de hiperbolă, inferior raportul - semistagnarea axe și, prin urmare, este mai întinsă principalul dreptunghi. Excentricitatea este hiperbola echilateral. De fapt, Razele focală și au forma, și la stânga la dreapta, verifica ramură hiperbole - și. Direct - numit directrices de hiperbola. Deoarece hiperbola # 949;> 1, atunci. Acest lucru înseamnă că dreptul directoarei situat între centru și vârful dreapta al hiperbola, stânga - între centru și vârful din stânga. hiperbolă au aceeași Directoarea proprietate ca directoarea elipsei. Curba definită de ecuația ca o hiperbolă, axa reală 2b, care este situat pe axa y și axa imaginară 2a - pe axa x. În Figura 59 este prezentată în fantomă. Evident, hiperbola și au o asimptota comun. O astfel de hiperbolă numit conjugat. Ecuația Canonical a unei parabole O parabolă este mulțimea tuturor punctelor în plan, fiecare dintre acestea fiind echidistant față de un anumit punct, numit un accent, și o anumită linie, numit directricea. Distanta dintre focalizare F la directricea parabolei și numitul parametru este notat cu p (p> 0). Pentru a obține ecuația parabolei Oxy alege un sistem de coordonate astfel încât axa x trece prin focalizarea F în direcția perpendiculară directricea a directricea la F și O origine situată la mijlocul distanței dintre focalizarea și directorul de conținut-SOI (vezi. Fig. 60). Focalizarea sistemului selectat F are coordonatele, iar ecuația este de forma directricea sau. Să - un punct arbitrar al parabolei. Ne alăturăm # 924; Desenați un segment cu F. # 924; # 925; Per-perpendicular directoare. Conform definiției parabolei MF = # 924; # 925;. Conform formulei distanța dintre două puncte de pe pasajele de trecere: Creșterea pe ambele părți ale pătrat, obținem Ecuația (11.13) se numește ecuația canonică a unei parabole. Parabola este linia a doua comandă. Studiul formează o parabolică a ecuației sale 1. În ecuația (11.13), în partea variabilă a unui grad chiar, atunci parabolei este simetrică în jurul axei Ox; axa x este axa de simetrie a sim parabolei. 2. Deoarece # 961> 0, rezultă din (11.13) rezultă că. Prin urmare, curse parabole-a pus la dreapta pe axa y. 3. Dacă avem y = 0. Investigatorul-dar parabole trece prin originea coordonatelor-ordonate. 4. Atunci când x crește modulul pe termen nelimitat, de asemenea, de varsta-un nelimitat. Parabolei de forma (forma), prezentată în Figura 61. Punctele O Single (0, 0) este numit vertex parabole, segmentul FM = r este raza spune punctul focal M. Ecuațiile ,, (p> 0) este determinat ca parabole, ele sunt prezentate în Figura 62 Este ușor de arătat că graficul polinom pătratic unde, B și C sunt număr real arbitrar, este o parabolă în sensul definiției de mai sus. 11.6. Ecuația generală a doua linie comandă ecuațiilor curbelor de ordinul doi cu axele de simetrie paralele cu axele de coordonate Noi găsim mai întâi ecuația elipsei cu centrul pe axa de simetrie a care sunt paralele cu axele de coordonate Ox și Oy, respectiv, și semiaxes a și b. Punem în centrul elipsei O1 începutul unui nou sistem de coordonate, axele care sunt paralele și, respectiv, stvuyuschim-axele Ox și Oy și identic orientate cu ei (vezi. Fig. 63). In acest sistem de coordonate, ecuatia e-Lips are forma Deoarece (Formula pas-paralela de transfer, a se vedea. P. 52), ecuația elipsei sistemului de coordonate vechi Vo ice-shetsya ca În mod similar raționament, obținem ecuația-hiperbolă set cu centrul în punctul semiaxes a și b (a se vedea figura 64 ..): Și, în sfârșit, parabola prezentat în figura 65, au respectiv ghiduri-ecuație. Ecuația elipsei, hiperbola, parabole și ecuația de cerc după transformare (pentru a deschide parantezele, mutați toți termenii ecuației în aceeași direcție, pentru a aduce acești membri să introducă noi notații pentru coeficienții) pot fi scrise cu o singură ecuație a formei unde coeficienții A și C nu sunt simultan zero. Se pune întrebarea: este orice fel de ecuația (11.14) definește una dintre curbele (cerc, elipsa, hiperbola, parabole) este al doilea ordin? Răspunsul este dat de următoarea teoremă. Teorema 11.2. Ecuația (11.14) definește întotdeauna fie un cerc (atunci când A = C) sau o elipsă (cu A + C> 0) sau o hiperbolă (ca A · C <0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых. Ecuația generală a doua Să considerăm acum ecuația generală de gradul II, cu două necunoscute-TION: Aceasta diferă de ecuația (11.14) în elementul prezență cu produsul coordonatele (B ¹ 0). Este posibil, prin rotirea axelor de coordonate de unghiul a. converti această ecuație pentru un membru al lucrării coordonate de absente. Folosind axele de rotație ale formulei exprimă coordonatele vechi prin noi: Am ales unghiul a, astfel încât coeficientul lui x „· y“ dispare, t. E. Egalitatea Astfel, atunci când rotirea axelor printr-un unghi a care satisface condiția (11.17) ecuația (11.15) se reduce la ecuația (11.14). Concluzie. Ecuația generală de ordinul doi (11,15) definește un plan (cu excepția cazurilor degenerare și dezintegrare) urmând curbele: cerc, elipsa, hiperbola, parabolică. Notă: Dacă A = C, atunci ecuația (11.17) devine fără sens. În acest caz, cos2 # 945; = 0 (vezi (11,16).), Apoi 2 # 945; = 90 °, t. E. # 945; = 45 °. Astfel, sistemul atunci când A = C coordonate trebuie rotită cu 45 °.