Teorema 2. 1. 1. podgruppyN grupa A sunt echivalente:
1. Setul de toate LCS Un subgrup al grupului H este închis sub subseturi de multiplicare.
H 2 este închis în ceea ce privește luarea de conjugat A elemente, și anume Ahan pentru orice hN și AA.
AH = 3. În fiecare aA.
4. stânga și extinderea dreapta Grupa A subgrup H coincid.
Dovada. 1 => 2. Deoarece aH # 8729; -1 și H = H (n Teorema 1.4.2. 1.4.), Apoi în virtutea proprietăților 1 claselor) n. 1.4, Ana -1 N. Aceasta înseamnă că H au fiecare dintre hH sale elemente cuprinde orice conjugat cu le un element ha -1 (aA).
Evident, 3 => 1. Este de asemenea clar că 3 => 4. Demonstrăm = 4> 3. Să presupunem că partea stângă și dreaptă descompunere Grupul Un subgrup H coincid, adică În ambele cazuri, grupa A este unirea acelorași subseturi. Prin urmare LCS aH coincide cu unele p.s.k. Hb care cuprinde un membru. Potrivit Proprietatea 2) Hb = Ha. Deci, AH = On.
2. 1. 1. Determinarea subgrupului H se numește grupul normal de un subgrup dacă îndeplinește una dintre condițiile echivalente cu 1 - 4 teorema.
nume folosit - subgrup normal, subgrup normal. Înregistrarea NA înseamnă că H este un divizor normal de A.
Teorema 2. 1. 2. Fie N A. Un set de LCS grup (P.s.k.) Un subgrup, dar normale H subseturi multiplicare relativă formează un grup.
Demonstrația rezultă direct din ODA. 2.1.1, Teorema 2.1.1 si Teorema 1.4.2.
Definiție 2. 1. 2. Grup de toate LCS (P.s.k.) Grupa A normale grup subgrupă numit factor H O subgrupă a valorilor normale H și este notat cu A / H.
Note: 1. În cazul în care grupa A este finit, atunci teorema lui Lagrange | A / N | = (A H) = | A |: | H |.
2. Orice subgrup al unui grup abelian este normal.
1. Pentru fiecare grupa A din subgrupurile sale normale sunt triviale subgrup E = și grupe A. Descompunere A prin E coincide cu expansiunea grupului A în elemente separate, iar extinderea A în A constă dintr-un coset egal cu A.
2. Fie A =
Să ne găsiți coset dreapta generat de matricea M.
grup Factor A / N constă din clase de matrici cu determinant nenul identic și este de fapt un grup multiplicativ R *.
3. Luați în considerare multiplicativ grupa C * de numere complexe. C * pentru a identifica o multitudine de puncte într-un plan, fără origine.
a) H, identificat cu o linie dreaptă care trece prin origine (fără). Apoi, C * / N - este creionului liniilor care trec prin origine, care sunt multiplicate prin adăugarea unghiurile lor invers acelor de ceasornic.
b) C * / C 1 - este un set de cercuri concentrice centrate la origine, care sunt multiplicate cu multiplicarea razelor lor. Acest lucru dă motive să credem că C * / C 1 coincide în mod substanțial cu multiplicativ grupul R +.