Manipularea fracțiunilor la zecimale. fracție periodică.
§ 114. Manipularea fracțiune comună la o zecimală.
Desenați fracție comună la o zecimală - înseamnă a găsi o fracție zecimală, care ar fi egală cu o fracțiune din comun. Atunci când se manipulează fracțiunilor la zecimale, ne-am întâlnit cu două cazuri:
1) când fracțiunile obișnuite pot fi convertite cu exactitate zecimală;
2) când fracțiunile obișnuite pot fi transformate în zecimal numai aproximativ. Luați în considerare aceste cazuri în mod constant.
1. Cum de a transforma o fracție ireductibilă obișnuită la o zecimală, sau cu alte cuvinte, cum să înlocuiască fracțiunea obișnuită egală cu ea zecimală?
În cazul fracțiunilor pot fi convertite cu exactitate zecimal, există două modalități de un astfel de tratament.
Amintiți-vă cum să înlocuiți o altă fracțiune, egal cu primul, sau ca o schimbare de la o fracțiune la alta, fără a schimba prima valoare. Acest lucru am făcut-o, atunci când a adus la un numitor comun al fracției (§86). Când vom da o fracție la un numitor comun, atunci vom proceda după cum urmează: a găsi un numitor comun pentru fractiunile datelor se calculează pentru fiecare factor suplimentar fracțiune și apoi se înmulțește numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu acest factor.
Observând acest lucru, să ia fracția ireductibilă 3/20, și să încerce să-l transforme într-o zecimală. Numitorul acestei fracțiuni este egal cu 20, și necesitatea de a le aduce la un alt numitor, care ar fi portretizat o unitate cu zerouri. Vom căuta cel mai mic dintre numitorilor, exprimate unitate de urmat de zerouri.
Primul mod de a trata fracție comună la o zecimală se bazează pe extinderea numitorul în factori de prim.
Este necesar să se știe la ce număr trebuie înmulțit cu 20, că produsul a exprimat unitate cu zerouri. Pentru a afla, trebuie să ne amintim mai întâi ce factorii principali ai numărului de unități portretizat degradate cu zerouri. Aceste extinderi:
10 = 2 • 5
100 = 2 • 2 • 5. 5
1000 = 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5
10 000 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5.
Vedem că unitatea numărul înfățișând cu zerouri doar la doua se descompune și cinci, și de alți factori în extinderea acolo. În plus, cele două și cinci incluse în expansiune în același număr. Și, în sfârșit, numărul celor și de alți factori este individual, numărul de zerouri de conducere după ce unitatea din imaginea numărului.
Să vedem acum cum se descompune în factori de prim 20: 20 = 2 • 2 • 5. Acest lucru arată că, în extinderea numărului de perechi 20 sunt două, și unul din cinci. Deci, dacă de acest factor, vom adăuga un cinci, vom obține numărul, unitatea înfățișată cu zerouri. Cu alte cuvinte, pentru ca la numitor în locul numărului 20 apelat numere de unitate înfățișată cu zerouri nevoie de 20 înmulțit cu 5, și că valoarea fracției nu sa schimbat, se înmulțește cu 5 și numărătorul acestuia, t. E.
Astfel, pentru a atrage fracții comune cu o zecimală, este necesar ca numitor comun al fracțiunii descompus în factori de prim și apoi echivala cu un număr de câte doi și cinciari, intrând în ea (și, desigur, în numărătorul) factorii care lipsesc din numărul necesar.
Aplicăm această concluzie la unele fracțiuni.
Faceți o fracție zecimală 3/50. Numitorul acestei fracțiuni se descompune după cum urmează:
Prin urmare, există lipsește unul din doi. Hai adauga:
Faceți o fracție zecimală 7/40.
Numitorul acestei fracțiuni se descompune după cum urmează: .. 40 = 2 • 2 • 2 • 5, adică îi lipsesc două cinciari. Noi le prezentam numărătorul și numitorul factori ca:
Din ceea ce se afirmă, nu este dificil să se încheie ceea ce fracțiuni comune tratate exact în zecimal. Este evident că fracțiunea comună redusă a cărei numitor nu conține alți factori de prim, cu excepția 2 și 5, se aplică exact în zecimal. Zecimal, care se obține din tratamentul unor ordinare, ar avea cat mai multe zecimale, de câte ori la numitor comun fracțiunii după reducerea acestuia include factorul numeric predominant 2 sau 5.
Dacă luăm fracțiunea 9/40. apoi, în primul rând, se va transforma într-o zecimală, pentru că o parte dintre factorii numitorul 2 • 2 • 2 • 5, și în al doilea rând, zecimal rezultat va avea 3 zecimale, deoarece factorul numeric predominant 2 în descompunerea trei ori. De fapt:
A doua metodă (prin împărțirea numărătorul la numitor).
Să presupunem că doriți să se convertească la o fracție zecimală 3/4. Știm că trei sferturi au un coeficient de 3 la 4. Este un privat, putem găsi, secțiunea 3, 4. Să facem acest lucru:
Astfel, 3/4 = 0,75.
Un alt exemplu: pentru a trage la o fracție zecimală 5/8.
Astfel, un 5/8 = 0,625.
Deci, să plătească fracție ordinară la o zecimală, împărțiți numărătorul fracție destul de comună la numitor.
2. Să considerăm acum al doilea la începutul secțiunii de cazuri a spus, de ex., E. cazul în care o fracțiune obișnuită nu poate fi direcționat într-o zecimală exactă.
fracție ireductibilă obișnuită a cărei numitor conține orice factori de prim altele decât 2 și 5 nu se poate aplica exact în zecimal. De fapt, de exemplu, fracția 8/15 poate să nu se aplice zecimal, ca numitor 15 este descompus în doi factori: 3 și 5.
Nu putem exclude din numitorul trei și nu pot găsi un astfel de număr întreg, care, atunci când înmulțit cu numitorul operei sale reflecta unitatea cu zerouri.
In astfel de cazuri, se poate vorbi doar de un tratament de aproximativ fracțiuni la zecimale.
Cum se face? Acest lucru se face prin împărțirea numărătorul fracției numitor comun, și anume. E. În acest caz, a doua metodă utilizată pentru tratarea fracției comune în zecimal. Prin urmare, această metodă este folosită și manevrarea precisă și o aproximativă.
Dacă fracțiune obișnuită trasă exact în zecimal obținut apoi prin împărțirea zecimal final.
Dacă o lovitură obișnuită nu merge la zecimal exact, cel obținut prin împărțirea zecimal infinit.
Din moment ce nu putem face un proces de diviziune infinit, avem nevoie pentru a opri diviziunea pe orice zecimală, adică. E. Pentru a face o diviziune aproximativă. Putem, de exemplu, pentru a opri divizarea prima zecimală, și anume de a limita zecimi ..; în caz de nevoie, ne putem opri la a doua zecimală, primind câteva sutimi de, și așa mai departe .. În aceste cazuri, noi spunem că ocolim fracție zecimală infinită. Rotunjirea se face cu aceeași acuratețe, care, în soluționarea acestei probleme este necesară.
§ 115. Conceptul unei fracții periodice.
Fracțiunea zecimală fără sfârșit, care are una sau mai multe cifre repetate în mod constant în aceeași secvență, numită fracție zecimală periodică. De exemplu:
0.33333333. ; 1.12121212. ; 3.234234234.
Un set de numere repetitive se numește perioada fracțiunii. Perioada de la primele fracțiuni scrise mai sus este de 3, perioada celei de a doua fracțiune de 12, perioadă a treia fracție 234. Prin urmare, perioada poate consta din mai multe cifre - .. Unu, doi, trei, etc. Primul set de numere numite prime perioade repetitive, al doilea pluralitate - a doua perioadă etc. adică ....
fractii periodice sunt pure și amestecate. fracție periodică se numește pură dacă perioada ei începe imediat după virgulă. Deci, scris de mai sus se repetă zecimale, va fi curat. În schimb, periodic numit fracție mixtă, în cazul în care între primul punct și perioadă, există una sau mai multe non-repetarea numere, de exemplu:
2.5333333. ; 4.1232323232. ; 0.2345345345345. 160
Pentru concizie, cifrele pot fi timp pentru a scrie o dată și nu pune între paranteze, după paranteze dot, t. E., în loc de 0,33. 0 pot fi scrise, (3); în loc de 2.515151. 2 se poate scrie (51); în loc de 0,2333. se poate scrie 0,2 (3); în loc de 0.8333. poate scrie 0,8 (3).
Citește fracții periodice după cum urmează:
0, (3) - 0 întreg, 3 în perioada.
7,2 (3) - 7 numere întregi 2 până la 3 perioade în perioada.
5.00 (17) - 5 numere întregi de la zero la două perioade, 17 în perioada.
Deoarece există fracții periodice? Am văzut deja că fracțiunile restante comune zecimale, pot fi două cazuri.
În primul rând. numitor comun fracție ireductibilă nu conține decât alte 2 și 5 factori; în acest caz, o fracțiune obișnuită devine o zecimală finită.
În al doilea rând, numitorul comun al fracției ireductibile conține orice factori de prim altele decât 2 și 5; În acest caz, o rolă obișnuită nu devine zecimală finală. În acest ultim caz, atunci când încercați să atragă fracție comună la o zecimală prin împărțirea numărătorul de numitorul obținem o fracție infinită, care va fi întotdeauna periodice.
Pentru a vedea acest lucru, ia în considerare unele exemplu. Să încercăm să atragă drob- 18/7 în zecimal.
Desigur, știm dinainte că fracțiunea cu numitorul nu se poate aplica zecimal finală, și vorbesc doar o conversie aproximativă. 18 divide numărătorul la numitor 7.
Avem un privat de opt zecimale. Nu este nevoie de a continua diviziune în continuare, pentru că încă nu este terminat. Dar este clar că divizia poate continua la nesfârșit și, prin urmare, să primească în figuri particulare noi. Aceste cifre noi vor apărea pentru că avem tot timpul vor fi obținute rămășițele; dar nici un reziduu nu poate fi mai mult decât un separator, care ne este 7.
Să vedem ce am avut resturi: 4; 5; 1; 3; 2; b, t. e. au fost numere mai mic de 7. În mod evident, nu poate fi mai mare de șase, iar în continuarea în continuare a diviziunii acestea vor trebui să fie repetate, iar după ei vor fi repetate și figuri private. Exemplul de mai sus ilustrează această idee: zecimală, în special, sunt în ordinea de 571 428, și apoi din nou cifre 57. Apoi am încheiat prima perioadă și începe a doua.
Astfel, fracția zecimală interminabile obținute atunci când se aplică fracțiuni comune vor fi întotdeauna periodice.
În cazul în care fracțiunea periodică se găsește în soluția de orice problemă, este luată cu precizia a ceea ce sunt necesare pentru condițiile de sarcini (până la al zecelea la o sutime la 1/1000, și așa mai departe. D.).
§ 116. Acțiuni comune cu fracții comune și zecimale.
La rezolvarea diverselor probleme cu care ne întâlni cu astfel de cazuri, atunci când sarcina a fost și ordinare și zecimale.
În aceste cazuri, puteți merge în moduri diferite.
1. Asigurați-vă că toate fracțiunile pentru zecimale. Acest lucru este convenabil, deoarece calculul fracții zecimale mai ușor decât pe obișnuite. De exemplu,
Să fracții 3/4, 1 1/5 în zecimal:
2. Asigurați-vă că toate fracțiunile în comun. Deci, de multe ori acționează în cazurile în care există fracțiuni comune, care nu sunt citate în zecimal finală.
Să zecimale în comun:
3. Calculele sunt fără o referire la alte fracțiuni.
Acest lucru este util în special în acele cazuri în care eșantionul cuprinde numai înmulțire și împărțire. De exemplu,
Rescriem exemplu, după cum urmează:
4. În unele cazuri, să plătească toate fracțiunile comune zecimale (chiar și cele care se aplică periodic) și de a găsi rezultatul aproximativă. De exemplu,
Să 2/3 în fracție zecimală, limităm miimi de:
+ + 0,125 0,667 0,234 = 1,026.