Pentru a satisface condiția de staționare, toate rădăcinile polinomului Φ () trebuie să se situeze în afara cercului unitar; toate rădăcinile ecuației caracteristice corespunzătoare trebuie să fie mai mari decât 1 modulo și diferite.
Acest model poate fi reprezentat ca:
unde a este un coeficient numeric, | a | <1, et — последовательность случайных величин, образующих “белый шум”.
Principalele proprietăți ale procesului Markov sunt:
Evident, yt depinde de toate cele anterioare, dar nu de variabilele aleatoare viitoare et. Prin urmare, luând în considerare natura "zgomotului alb". rezultă imediat că M (yt) = 0.
De asemenea, obținem o expresie pentru varianța procesului Markov AR (1), folosind expresia (3.3):
Suma progresiei geometrice infinite este scrisă sub condiția | a | <1. Отсюда видно, что при значении a близком к ± 1 дисперсия ряда будет намного больше — дисперсии белого шума. Следовательно, если последовательные значения ряда сильно коррелированны, то даже незначительные возмущения будут порождать размашистые колебания.
Pentru a arăta proprietățile 3 și 4, multiplicați ambele fețe ale ecuației (3.2) cu yt-1 și luați așteptările matematice:
unde al doilea termen M (et yt-1) este scris luând în considerare valorile necorelate ale seriei cu orice variabile aleatoare viitoare et. Notatia finala pentru aceasta relatie
și anume a este coeficientul de autocorelare a primei ordini (determină valoarea corelării coeficientului de pereche între nivelele vecine ale seriei):
Se poate demonstra acest lucru
Prin urmare, gradul de etanșeitate al relației de corelație dintre termenii secvenței scade exponențial, deoarece acestea sunt îndepărtate unul de celălalt în timp.
Toate autocorelațiile procesului Markov pot fi exprimate prin autocorelația de prim ordin:
Valorile funcției de autocorelare parțială sunt zero pentru toate laturile k> 2, care pot fi folosite pentru a selecta modelul. Acest rezultat este valabil pentru o funcție teoretică de autocorelare parțială și poate să nu fie îndeplinită pentru o funcție de autocorelare selectivă. Cu toate acestea, în cazul în care corelațiile parțiale selective sunt nesemnificativ statistic diferite de zero pentru k> 2, atunci folosirea modelului AR (1) nu contrazice datele inițiale.
Procesul cu parametrul | a |> 1 este nestatornic. Astfel de ranguri sunt puțin probabile în ceea ce privește sarcinile financiare și economice reale, deoarece aceasta implică serii explozive, iar presiunea mediului economic nu permite indicatorilor să ia valori infinit de mari.
Definiți o expresie pentru calcularea valorilor funcției de autocorelare r (t). abreviat la ACF, pentru orice valoare a schimbării seriei t. Pentru a face acest lucru, vom multiplica din nou ambele părți ale ecuației (3.5) cu yt-t:
și luați așteptările matematice:
Această expresie ne permite să calculam valoarea ACF pentru diferite valori ale întârzierilor t. Înlocuiți valorile t = 1 și t = 2 consecutiv în (3.8).
Având în vedere faptul că r (0) = 1 și r (-1) = r (1), obținem
Acest sistem este numit sistemul Yule-Walker pentru AR (2).
Dacă rezolvăm acest sistem cu privire la a1 și a2, atunci obținem expresiile:
Exprimăm din sistem (3.9) primele două valori ale ACF:
După determinarea r (1) și r (2), orice valori ACF ulterioare pot fi calculate folosind (3.8).
ObŃinem o relaŃie care conectează varianŃa seriei yt și varianŃa zgomotului alb, care este egală cu. Pentru aceasta, multiplicăm ecuația AR (2) cu yt:
Să luăm așteptările matematice:
Din coeficienții autocovarienței trecem la coeficienții de autocorelare, înmulțind și împărțind partea dreaptă a ecuației cu g (0):
Prin urmare, ținând seama de faptul că varianța trebuie să fie pozitivă, obținem condițiile staționare ale procesului AR (2). Condițiile de staționare pentru seria y pot fi de asemenea obținute ținând seama de cerințele (6.14)
Rețineți că aceleași condiții sunt obținute din cerința că toate rădăcinile ecuației caracteristice corespunzătoare 1 - a1 z - a2 z 2 = 0 se află în afara cercului unității.
Condițiile de staționare pentru procesul AR (2) pot fi scrise în formular
1. În modelele AR (p), valorile coeficienților ACF sunt amortizate exponențial (fie monotonic, fie alternativ schimbând semnul).