În activitățile noastre practice, ne întâlnim de multe ori cu fenomene ale căror rezultate nu pot fi anticipate, rezultatul cărora depinde de caz. Teoria probabilităților este o ramură a matematicii în care sunt studiate fenomenele (evenimentele) aleatoare și sunt revelate regularitățile în cursul repetării lor în masă. Conceptul de bază al teoriei probabilității este probabilitatea unui eveniment (frecvența relativă a unui eveniment) - o măsură obiectivă a posibilității de a implementa acest eveniment.
Evenimentele sunt de obicei marcate cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, D. Listați principalele tipuri de evenimente aleatorii:
- evenimentele sunt numite incompatibile. dacă niciunul dintre ei nu poate apărea împreună în acest test (experiență). De exemplu, atunci când o monedă este aruncată, apariția unei figuri exclude apariția simultană a unei stem;
- două evenimente sunt numite comune. dacă apariția uneia dintre ele nu exclude apariția unui alt eveniment în același proces (experiență);
- evenimentul este numit autentic. dacă apare în acest test este obligatorie. De exemplu, câștigurile pe un bilet de la o loterie câștigătoare sunt un eveniment valabil;
- evenimentul este numit imposibil. dacă nu se poate întâmpla în acest proces. De exemplu, atunci când arunci un mor, nu puteți obține 7 puncte;
- două evenimente sunt numite opuse (A și A # 772;), dacă în acest test sunt inconsecvente și unul dintre ele se produce în mod necesar. Probabilitățile evenimentelor opuse din sumă dau 1;
- evenimentul B se spune că este independent de evenimentul A dacă evenimentul A nu modifică probabilitatea evenimentului B: PA (B) = P (B). În caz contrar, evenimentul B se spune că depinde de evenimentul A;
Sistem complet de evenimente A1. A2. A3. ..., An este o colecție de evenimente incompatibile, instalarea a cărei cel puțin una este obligatorie pentru un anumit test (experiență).
Fiecare eveniment A este asociat cu o măsură P (A), care se numește probabilitatea acestui eveniment și care satisface următoarele axiome:
- pentru orice eveniment 0 ≤ P (A) ≤ 1;
- Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero, P (A) = 0;
- probabilitatea unui eveniment fiabil este una, P (A) = 1.
Există un mod clasic și geometric de calcul al probabilității unui eveniment.
În metoda clasică de numărare, probabilitatea evenimentului A se calculează cu formula: P (A) = m / n. în cazul în care:
- toate rezultatele elementare sunt la fel de posibile; nici unul dintre ele nu este mai posibil decât celălalt;
- m este numărul de rezultate elementare ale testelor care favorizează apariția evenimentului A;
- n este numărul total al tuturor rezultatelor posibile ale testelor elementare.
Pentru calcularea n și m, se folosesc adesea conceptele și formulele combinatorice:
- n-factorial este produsul tuturor numerelor naturale de la unu la n: n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n. De exemplu: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24, 1! = 1, 0! = 1
- permutarea elementelor n este o combinație de n elemente care diferă una de alta numai în ordinea elementelor. Numărul tuturor permutărilor posibile este calculat prin formula: Pn = n!
- permutarea cu repetiții - lăsați elemente n1 de primul tip, n2 să fie de tipul celui de-al doilea. nk-k-th, total n elemente. Modalitățile de a le plasa în locuri diferite se numesc permutări cu repetări. Numărul tuturor permutărilor cu repetiții se calculează cu formula: Pn (n1, n2, ..., nk) = n! / n1! n2. nk!
- Plasarea - o combinație de elemente n în m (m
Pentru n = m, plasarea devine o permutare. Dacă nu țineți cont de ordinea elementelor din plasament și luați în considerare numai compoziția sa, atunci se obține o combinație. - combinații - toate combinațiile posibile de elemente n în m (m
Metoda geometrică de calcul al probabilității este utilizată atunci când rezultatele elementare ale unui experiment pot fi interpretate ca puncte ale unui segment, figură sau corp.
Să segment l este o parte din segmentul L. Dacă presupunem că probabilitatea punctul de incidență pe segmentul l este proporțională cu lungimea acestui interval, probabilitatea de puncte de contact pe segmentul L este definit de ecuația: P = lungime l / lungime L.
Probabilitatea ca un punct să cadă într-o figură gală care face parte dintr-o plană G: P = Zona g / Zona G.
Probabilitatea ca un punct să cadă într-o formă tridimensională # 965; care face parte din figura V: P = Volum # 965; Volumul V.
Exemple de rezolvare a problemelor pe tema "Elemente combinatorice. Evenimente și probabilitățile lor "
În clasa a XI-a există 30 de persoane. 18 persoane studiază limba engleză, 16 - germană, 9 - ambele limbi. Câți oameni studiază a) numai engleza, b) doar limba germană, c) nu învață o singură limbă?
Soluția.
a) deoarece 18 persoane studiază limba engleză, 9 dintre ele studiază atât limba engleză, cât și limba germană, apoi 18-9 = 9 persoane studiază numai limba engleză;
b) deoarece 16 persoane studiază limba germană, 9 dintre ele studiază limbile germană și engleză, apoi 16-9 = 7 persoane studiază doar limba germană;
c) ca și în sălile de clasă 30 de persoane, 9 dintre aceștia studiază limba engleză, 7 - doar în limba germană, 9 - ambele limbi, apoi 30 - (9 + 7 + 9) = 5 persoane nu învață nici o limbă.
Câte moduri pot rearanja literele în cuvântul "ficus"?
Soluția. În acest caz, este necesar să se găsească numărul de permutări ale celor 5 litere, ca în cuvântul „Ficus“ toate literele sunt diferite, numărul de permutări determinate prin formula :! P5 = 5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
Câte moduri pot rearanja literele în cuvântul "răspuns"?
Soluția. Este necesar să se găsească numărul de permutări de 5 litere, dar spre deosebire de sarcina 2, există litere repetate - litera "a" se repetă de două ori. Prin urmare, numărul de metode este determinat de formula de permutare cu repetări: P5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.
În colecția de bilete pentru matematică există doar 25 de bilete, în 10 dintre ele există o întrebare despre derivat. Găsiți probabilitatea ca într-un test selectat aleatoriu, studentul să nu primească o întrebare despre derivat.
Soluția. În acest caz, numărul de rezultate favorabile este (25-10) = 15, numărul total de evenimente este de 25.
Probabilitatea evenimentului A = este găsită ca raport: P (A) = 15/25 = 0.6.
În casetă există 15 părți, din care 8 sunt vopsite. Colectorul extrage în mod aleator trei detalii. Găsiți probabilitatea ca piesele extrase să fie pictate.
Numărul total al tuturor rezultatelor posibile ale testelor elementare este egal cu numărul de moduri în care pot fi extrase 3 părți din 15:
n = C153 = 15! / 3! (15-3)! = 15! / (3! * 12!) = 13 * 7 * 5 = 455.
Numărul de rezultate favorabile este egal cu numărul de moduri în care puteți extrage 3 părți din 8 colorate:
m = C83 = 8! / 3! (8-3)! = 8! / (3 * 5!) = 7 * 8 = 56.
Probabilitatea evenimentului A se găsește ca raport: P (A) = m / n = 56/455 ≈0.12
Printre cei 17 studenți ai grupului, dintre care 8 sunt fete, se joacă 7 bilete de teatru. Care este probabilitatea ca printre titularii de bilete să fie 4 fete și 3 băieți?
Numărul total de rezultate elementare ale loteriei este egal cu numărul de modalități prin care puteți selecta 7 persoane de la toți elevii din grup, adică de la 17: n = С17 7 = 17! / 7! (17-7)! = 17! / (7! * 10!) = 19448.
Numărul de succese (7 printre deținătorii de bilete 4 femei și 3 bărbați) vor găsi, având în vedere că 4 din 8 femei pot alege C8 4 moduri, și 3 din 9 tineri pot alege C9 trei moduri. În consecință, m = C8 4 * C93 = 8! 9! / 4! (8-4)! 3! (9-3)! = 5880.
Probabilitatea evenimentului A se găsește ca raport: P (A) = m / n = 5880/19448 ≈ 3
Alte articole pe această temă:
Lista surselor utilizate