Întrebarea 5!

Secvențe convergente și proprietățile lor

Luați în considerare secvențele numerice.

Se spune că secvența (xn) a numerelor reale este convergentă. dacă există un număr real a și pentru un arbitrar ε> 0 există un număr natural m astfel încât pentru toate n> m inegalitatea | xn -a | <ε .

În acest caz, numărul a se numește limita secvenței (xn), care scrie simbolic xn → a ca n → ∞.

Folosind caractere logice, definiția este scrisă după cum urmează: o secvență numerică (xn) se spune că este convergentă. dacă

Întrebarea 6! Secvențe infinit de mari și infinitezime

Definiția. secvență <хn> se spune că este infinit de mare dacă pentru orice număr pozitiv A mare, în mod arbitrar, există un număr N în funcție de acest număr A. astfel încât pentru toate n> N ulterioare inegalitatea | xn |> A.

Notă. Evident, orice secvență infinit de mare este nelimitată. Cu toate acestea, o secvență nelimitată nu poate fi infinit de mare. De exemplu, secvența nelimitată 1, 2, 1, 3, ..., 1, n + 1, ... nu este infinit de mare, deoarece pentru A> 1 inegalitatea | xn |> A este satisfăcut nu pentru toate elementele xn cu numere impare. Definiția. Secvența n> este numită infinitezimal, dacă pentru orice număr arbitrar mic pozitiv ε> 0 există un număr care depinde de N. e, astfel încât pentru orice n> N inegalitatea | αn | <ε:

Legătura dintre secvențele infinite și cele infinit de mari

Teoremă 1. Dacă <хn> - o secvență infinit de mare și toți termenii ei sunt nenul, apoi secvența

și, invers, dacă n> este o secvență infinitezimală și toți termenii ei sunt nenuloni, n> ≠ 0, atunci secvența <1 / αn> - infinit de mare. Dovada. lăsa <хn> Este o secvență infinit de mare. Luăm orice număr pozitiv arbitrar ε> 0 și setăm

Prin definiție, există un număr N astfel încât pentru n> N avem | xn |> A. Prin urmare, înțelegem asta

pentru toate n> N. Și asta înseamnă că secvența

Întrebarea 7. Teorema privind limitarea unei secvențe convergente

Dacă secvența are o limită finită, secvența este mărginită. Definiția. O secvență numerică xn> este mărginită dacă există un număr finit K. că pentru toate n

N. n> N. d (xn A) <1.

În interiorul unui cartier cu o rază R = 1 există un număr infinit de puncte, iar în afara acestui cartier există un număr finit de puncte, să presupunem că acestea sunt puncte x1, x2. ... xN. Alegeți un număr

,

atunci pentru toate n avem

Întrebarea 8!

"Unicitatea limitei unei secvențe numerice"

Definiție: Dacă secvența are o limită, atunci această limită este unică. Sunt utilizate trei stiluri principale:

Dovada (prin contradicție): Să presupunem că această limită nu este unică, adică Există două limite de secvență care sunt diferite una de cealaltă. lim (pentru n -> k la infinit) an = в1; lim (ca n → ∞ la infinit) an = θ2; b1 = b2 Luați în considerare numărul A = (bl + B2) / 2 (figura de pe linia dreaptă cu săgeata ia segmentul B1B2 și A este mijlocul segmentului) B1 №1. o @, începând cu un număr, toți termenii vor fi mai mici decât @). c2> A, atunci există un număr N2 astfel încât pentru orice n> N2 inegalitatea deține. a> A. Fie N = max, iar pentru orice n> N, ambele inegalități sunt îndeplinite simultan, în consecință, pentru orice termen al oricărui membru al secvenței, inegalitatea A

Proprietatea nr. 1: Având o secvență lim (n tinde spre infinit) an = b, c> @, începând cu un număr, toți termenii secvenței vor fi mai mici decât @). Corolar: Dacă b> B, începând cu un anumit număr, toți termenii secvenței vor fi mai mari decât B. Dacă @ <в

Proprietatea nr. 2: "Limita unei secvențe având o limită": Dacă lim (n tinde spre infinit) an = c, secvența este mărginită și pentru toți membrii ei inegalitatea @

Teoreme privind limitele: să presupunem că există secvențe 2, => lim (n tinde spre infinit) a = a; lim (n tinde spre infinit) вn = в

• Zoroastrianism și Avesta Întrebări frecvente, Comunitatea Zoroastriană din Sankt Petersburg

• Guf (Guf) - aveți întrebări (ft

• Martha din creier, ajutor, te rog - o întrebare pentru neuropatolog - 03 online