Pentru a rezolva ecuații diferențiale, Mathcad oferă utilizatorului o bibliotecă de funcții încorporate pentru rezolvarea diferențelor de ecuații. destinate soluției numerice a ecuațiilor diferențiale.
- Funcții încorporate pentru rezolvarea problemei Cauchy și a problemelor de valoare a limitei pentru sistemele de ecuații diferențiale obișnuite în formă normală.
- Funcția odpolve rezolvă pentru ecuațiile formularului
a (x) y (n) + F (x, y, y ', y (n-1)
problema Cauchy
y (x0) = y0. y '(x0) = y0,1. y '' (x0) = y0,2. y (n-1) (x0) = y0, n-1
sau cea mai simplă problemă de valoare a limitei
y (k) (a) = ya, k. y (m) (b) = yb, k. 0<= k<= n-1, 0<= m<= n-1 . - Funcția sendolve rezolvă problema reprezentată de metoda Runge-Kutta cu un pas fix. Pentru a rezolva problema utilizând metoda Runge-Kutta cu selecție automată a pasului, trebuie să faceți clic dreapta în documentul de lucru cu numele funcției și să selectați Adaptive din meniul pop-up.
- Referința la funcție are forma
Y: = expediere (x, b, pas) sau Y: = sendolve (x, b).
unde Y este numele funcției care conține valorile soluției găsite, x este variabila de integrare, b este sfârșitul intervalului de integrare, pasul este pasul care este utilizat pentru a integra ecuația prin metoda Runge-Kutta. - Înainte de a accesa funcția sendolve, trebuie să scrieți cuvântul cheie dat. apoi introduceți ecuația și condițiile inițiale sau limită. La introducerea ecuației și a condițiilor problemei, se utilizează un simbol simbolic (
+<=> ), iar pentru derivarea derivaților se poate utiliza atât operatorul de diferențiere, cât și semnul derivatului, de exemplu, al doilea derivat poate fi introdus sub forma sau sub forma y "(x). În acest caz, este necesar să se scrie argumentul funcției solicitate. - Pentru a tipări valorile soluției în orice punct al intervalului de integrare, trebuie doar să introduceți numele funcției Y. în paranteze, să specificați valoarea argumentului și semnul egal.
- Valorile soluției în orice punct al intervalului de integrare pot fi folosite în calcule ulterioare, este suficient să introduceți numele funcției Y în locul potrivit indicând valoarea argumentului în paranteze.
Pentru informații complete despre regulile de utilizare a funcției sendolve, consultați referința Mathcad integrată din secțiunea Tutorials generală.
Exemplul 1. Soluția problemei Cauchy cu funcția sendolve.
Exemplul 2. Rezolvarea unei probleme de limită folosind funcția sendolve.
Funcțiile integrate Mathcad pentru rezolvarea problemei Cauchy și probleme de limită le rezolvă pentru ecuațiile diferențiale obișnuite și obișnuite. Problemele pentru ecuațiile de ordin mai înalt reduc la problemele corespunzătoare pentru c și cm normale.
Considerăm problema Cauchy:
unde este soluția dorită, este vectorul condițiilor inițiale și este vectorul laturilor din dreapta, se scrie sistemul de ecuații diferențiale în formă vectorică:
În Mathcad, puteți rezolva problema Cauchy pentru un astfel de sistem folosind următoarele funcții:- rkfixed (y, x1, x2, npoints, D) este soluția problemei pe un segment prin metoda Runge-Kutta cu pas constant;
- Rkadapt (y, x1, x2, npoints, D) este soluția problemei pe un segment prin metoda Runge-Kutta cu selecție automată a pasului;
- rkadapt (y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, salva) -solution sarcină la un moment dat prin metoda Runge-Kutta cu pas selecție automată;
- Bulstoer (y, x1, x2, npoints, D) este soluția problemei pe interval prin metoda Bulirsch-Stehr;
- bulstoer (y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) este soluția problemei la un anumit punct prin metoda Bulirsch-Stehr;
- Stiffr (y, x1, x2, acc, D, J) este soluția problemei pentru sistemele rigide pe un interval folosind algoritmul Rosenbrock;
- rigid (y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) -soluții pentru sisteme rigide pe un segment folosind algoritmul Rosenbrock;
- Stiffb (y, x1, x2, acc, D, J) este soluția problemei pentru sistemele rigide într-un interval folosind algoritmul Bulirsch-Shter;
- stiffb (y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) - rezolvarea problemelor pentru sistemele rigide dintr-un anumit punct folosind algoritmul Buliersch-Shter.
Semnificația parametrilor pentru toate funcțiile este aceeași și este determinată de formularea matematică a problemei:
y este vectorul condițiilor inițiale;
x1. x2 reprezintă punctele inițiale și finale ale intervalului de integrare a sistemului; pentru funcțiile care calculează soluția la un anumit punct, x1 este punctul de pornire, x2 este punctul specificat;
npoints - numărul de noduri pe segmentul [x1, x]; la rezolvarea unei probleme la un interval, rezultatul conține npoints + 1 rând;
D este numele funcției D (x, y) a vectorului de valoare a laturilor din dreapta ,; (numele D - derivat - derivatul, numele vectorului care conține expresiile pentru derivații soluției dorite);
J este numele funcției J (x, y) cu valoare matrice a dimensiunii n x (n + 1). în prima coloană a căruia sunt stocate expresiile pentru derivatele parțiale cu privire la x a părților drepte ale sistemului, iar celelalte coloane n conțin matricea Jacobi a fețelor din dreapta:
.
acc - parametrul care controlează eroarea soluției pentru alegerea automată a etapei de integrare; (dacă eroarea a soluției peste acc scade spațiere grilă, pas este redusă la atâta timp cât valoarea este mai mică decât a salva.)
kmax - numărul maxim de noduri de rețea în care poate fi calculată soluția problemei pe segment, numărul maxim de rânduri din rezultat;
salvare - cea mai mică valoare admisă a treptei neregulate a ochiului.
Rezultatul funcției - matrice care conține n + 1; prima coloană conține coordonatele punctelor grilei, a doua coloană - valoare aproximativă soluții calculate y1 (x) la punctele de rețea, (k + 1) -lea - valoarea resheniyayk (x) la punctele grilei.
La rezolvarea problemei Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi, rezultatul calculelor tuturor funcțiilor de mai sus este o matrice a cărei primă coloană conține coordonatele nodurilor de rețea x0. x1. xN. iar în al doilea - valorile soluției aproximative în nodurile corespunzătoare.
Exemplul 3. Soluția problemei Cauchy pentru ODE de ordinul întâi cu funcția rkfixed.
Exemplul 4. Rezolvarea problemei Cauchy pentru ODE de ordin 2 prin utilizarea funcției rkfixed.
Exemplul 5 Soluția problemei Cauchy pentru sistemul ODE de ordinul întâi cu funcția rkfixed.
Exemplul 6. Rezolvarea problemei rigide Cauchy pentru un sistem ODE de ordin 1 cu ajutorul funcției Stiffr.
La studierea sistemelor autonome de ecuații diferențiale de ordinul doi, se pot obține informații utile luând în considerare curbele integrale și de fază ale sistemului.
În studiul sistemelor autonome de ecuații diferențiale de ordinul doi, informații utile privind proprietățile soluțiilor pot fi obținute prin construirea câmpului vectorial al sistemului.
Să scriem un sistem autonom al ordinii a doua
Acest sistem este complet determinat prin specificarea unui câmp vectorial, deoarece câmpul vectorial definește în fiecare punct direcția tangentei la curba de fază a sistemului care trece prin acest punct.