Definiția. O bază pe plan este oricare doi vectori liniar independenți.
Din teorema 2 (vezi §4) rezultă că doi vectori arbitrari noncoliniari formează o bază. Fie orice vector în plan și vectorii u formează o bază. Deoarece în plan sunt toți cei trei vectori dependenți liniar, vectorul este exprimat liniar în termeni de vectori de bază, adică,
.
Dacă vectorul este reprezentat în forma (3), atunci spunem că acesta este extins într-o bază formată de vectorii u. Numerele u se numesc coordonatele vectorului pe plan în raport cu baza u
1. Expansiunea vectorului în raport cu u este unică
Dovada. Să presupunem că împreună cu expansiunea (3) există o descompunere
Să arătăm că în acest caz Într-adevăr, scăzând (4) de la (3), obținem relația
(Abilitatea de ecuațiile (4) scăzând și (3) și produs de membrii ai grupului provine din proprietățile operațiilor liniare asupra vectorilor (vezi. P. 2).) Deoarece vectorii de bază. sunt liniar independente, atunci și. Aici. și anume descompunerea vectorului în raport cu baza. singurul.
Definiția. O bază într-un spațiu este orice trei vectori liniar independenți.
Din Teorema 2 (vezi §5) rezultă că trei vectori arbitrari noncoplanari formează o bază. Ca și în cazul unui plan, se stabilește că orice vector poate fi extins în termeni de vectori. și
iar această descompunere este unică.
Numere. . se numesc coordonatele vectorului în spațiu în raport cu baza. și.
Valoarea principală a bazei este că operațiile liniare pe vectori în definirea unei baze devin operații liniare obișnuite pe numerele - coordonatele acestor vectori.
Teorema. Când se adaugă cele două vectori și se adaugă coordonatele lor (în raport cu orice bază sau orice bază, și). Atunci când vectorul este înmulțit cu orice număr și toate coordonatele sale sunt înmulțite cu acest număr.
Dovada. Să presupunem, de exemplu,
.
Apoi, în virtutea proprietăților operațiilor liniare (vezi §2)
Datorită unicității extinderii bazei. . teorema pentru această bază este dovedită.