Clauza 1.1. defini
Funcția de impuls al unității, numită și funcția delta delta, este, prin definiție, egală cu infinitul atunci când argumentul său este zero și zero pentru valorile rămase ale argumentului, iar aria sub graficul său este unitatea.
În plus, este adesea de dorit să determinăm această funcție de impuls astfel încât să fie o funcție uniformă a argumentului său:
Să presupunem că funcția de impuls a unității este integrată pe intervalul de timp. Atunci rezultatul integrării va fi zero, jumătate sau unu, în funcție de faptul dacă este în mod corespunzător mai mic sau egal cu.
unde este funcția saltului unității:
Astfel, funcția saltului unitar este un element integrat al funcției de impuls ale unității și, prin urmare, putem considera funcția de impuls a unității drept derivată a funcției de salt al unității. Și așa,
Funcția unică de impuls și funcția de salt al unității sunt prezentate în Fig. P. 1.1.
FIG. P. 1.1. Funcții singulare: a - funcția impulsului unitar; b este funcția saltului unității.
Deși din punct de vedere matematic definiția funcției de impuls nu este complet corectă, proprietățile sale sunt adesea foarte utile. De exemplu, cu ajutorul unei singure funcții de impuls, am extins conceptul de densitate de probabilitate la cazul variabilelor aleatoare discrete. Pentru a face ca introducerea unei singure funcții de impuls sau, mai precis, a operațiilor pe care le vom produce cu ajutorul ei, să fie mai rezonabile, este adesea convenabil să considerăm funcția de impuls al unității drept limita unei secvențe infinite de funcții obișnuite.
Luați în considerare o funcție de impuls dreptunghiulară
în cazul în care. Această funcție este reprezentată în fig. P. 1.2. Pentru ea, pentru toți
Dacă presupunem acum că lățimea pulsului va avea tendința de a zero, înălțimea va ajunge la infinit și aria de sub
graficul va rămâne constant și egal cu unul. Astfel, funcția impulsului unitar poate fi considerată limita unei secvențe de funcții de impuls dreptunghiular:
Funcția de impuls dreptunghiular este un prototip simplu și convenabil al funcției de impuls, dar este discontinuă.
FIG. P. 1.2. a este o funcție de impuls dreptunghiulară; b este funcția de impuls gaussian.
În unele probleme este mai convenabil să se utilizeze funcții care au derivate ca prototip. Una dintre acestea este funcția de impuls gaussian
unde Această funcție este de asemenea prezentată în fig. P. 1.2. Pentru toate valorile
Mai mult, pentru o, înălțimea tinde spre infinit, iar marginile se apropie de zero. Astfel, în limita unei funcții de impuls gaussian satisface definiția funcției impulsului unitar și putem pune
Clauza 1.2. Integrale cu funcție delta
unde funcția este continuă într-un punct.În funcție de proprietățile funcției impulsului unității, integranta I este diferită de zero numai la un punct.Astfel, integrale depinde de valoare doar la un punct și putem scrie
Prin urmare, folosind (1.2), avem
Deci, pentru a calcula integralitatea produsului unei funcții date pe o funcție de impuls de unitate într-un punct, pur și simplu trebuie să calculați valoarea unei funcții date la acel moment.
Clauza 1.3. Fourier se transformă
Transformarea Fourier a funcției impulsului unității este
Conform celor spuse în secțiunea anterioară,
Aplicarea formală a transformării inverse Fourier dă
Din Ecuațiile (1.3) și (1.14) vedem că atât funcția impulsului unității cât și transformarea Fourier sunt uniforme
În conformitate cu egalitatea și identitatea
obținem perechi de transformări Fourier
Având în vedere că ambele impulsuri sunt chiar funcții, ultima egalitate poate fi rescrisă în formă
Clauza 1.4. Derivatele funcțiilor de impuls
În funcție de egalități, funcția de impuls dreptunghiular poate fi exprimată în funcție de funcția de salt al unității:
prin urmare, derivatul său, în conformitate cu
Acum integrăm produsul acestui derivat cu o anumită funcție care are un derivat continuu în acest punct. Folosind egalitatea (A.1.11), obținem
Limita acestei expresii este egală cu valoarea derivatului din
Definim derivatul funcției impulsului unității drept limita corespunzătoare derivatului unuia dintre prototipurile sale; de exemplu,
Apoi putem rescrie (A.1.22) în formă
În consecință, integralul produsului unei funcții date cu derivat continuu în raport cu derivatul funcției impulsului unitar în acest punct este egal cu valoarea derivatului funcției date în acest punct luată cu semnul opus.
În mod similar, derivatul funcției impulsului unitar poate fi definit ca limita derivatului unuia dintre prototipurile sale. În acest caz, se poate arăta că dacă are un derivat continuu în acest punct, atunci
Prin urmare, transformarea Fourier a derivatului funcției impulsului unitar este