2.1. Este o operație ⨀ pe setul M asociativă dacă:
b) M = ℤ, x⨀y = x2 + y2
c) M = ℝ, x ⨀y = sinx siny;
d) M = ℝ \, x ⨀y = xy x / | x |
2.2. Fie S un semigrup de matrici de forma, unde x, y ∈ ℝ, cu operatia de multiplicare. Are elemente neutre stânga sau dreapta?
2.3. Pe un set M, o operație binară a este definită de regula x, y = x. Dovedeste ca (M ,.) este un semigrup. Ce se poate spune despre elementele neutre ale acestui semigrup? În ce cazuri este un grup?
2.4. Fie M un set arbitrar. Pe setul M 2 o operație este definită de regula (x, y). (Z, t) = (x, t). Este algebra (M 2) un semigrup? Are un element neutru?
2.5. Dați un exemplu de semigrup cu o unitate stângă (un element neutru) care nu este monoid.
2.6. Care dintre aceste seturi de matrici reale pătrată din aceeași ordine formează un grup:
a) setul de matrice nondegenerate în ceea ce privește multiplicarea;
b) setul de matrițe nondegenerate în ceea ce privește adăugarea;
c) setul de matrici diagonale cu privire la adăugare;
d) setul de matrici diagonale cu privire la multiplicare?
2.7. Dovedeste ca daca identitatea x 2 = 1 este in grupa g pentru orice x ∈ G, atunci grupul g este comutativ.
2.8. În grupul S4, rezolvați ecuațiile:
2.9. Este câmpul un set de numere ale formulei x + √2y, unde x, y ∈ ℚ. cu operațiunile obișnuite de adăugare și multiplicare?
2.10. Dovada ca setul tuturor matricelor triunghiulare superioare de ordine fixa n este un subing al inelului tuturor matricelor pătratului de ordine n. Este adevărat pentru matricele diagonale și inferioare triunghiulare?
2.11. Construiește un exemplu de inel cu un element, adică în care 0 = 1.
2.12. Inelul R = (R, +, ⋅, 0, 1) se numește inel boolean. Dacă multiplicarea lui este idempotentă, adică x ⋅ x = x pentru orice x ∈ R. Dovedeste ca:
a) pentru orice element x al inelului boolean x + x = 0. x = x;
b) fiecare inel boolean este comutativ;
c) în orice inel boolean având mai mult de două elemente (| R |> 2), există divizori zero.
2.13. Dovedeste ca (2 M. Δ, ∩, ∅, M) este un inel boolean (vezi Problema 2.12). Dovedeste ca este izomorf la ℤ2 pentru | M | = 1.
2.14. Aratati ca setul de reziduuri din diviziunea polinomilor in variabila x de x 2 + x + 1 cu operatiile de adaugare si multiplicare a polinomilor este un inel. Este acest inel un câmp?
2.15. Un element x al unui inel se numește inversibil. dacă există un element x 'astfel încât x ⋅ x' = x '⋅ x = 1. Un element x al unui inel este declarat a fi reversibil în stânga (dreapta) dacă există x' astfel încât x '⋅ x = 1 (x ⋅ x' 1). Un element al unui inel este considerat a fi unilateral inversabil dacă este inversibil în stânga sau în dreapta.
Un element x ≠ 0 al unui inel este numit un divizor stânga (dreapta) zero dacă există un element nenul al inelului y astfel încât x ⋅ y = 0 (y ⋅ x = 0); Un element care este un divizor stâng și un dreapta al zero în același timp se numește divizor zero.
a) un element al unui inel finit este inversabil (stânga, dreapta) dacă și numai dacă nu este un divizor zero (dreapta, stânga);
b) într-un inel finit și într-un inel fără divizori zero, orice element inversibil unilateral este inversibil;
c) elementul inelului rezidual modulo k este inversibil dacă și numai dacă este relativ prime la k.
2.16. Fie R un inel. Dovediți că:
a) Dacă produsele xy și yx sunt inversibile, atunci elementele x și y sunt de asemenea inversabile;
b) dacă nu există divizori zero în R și produsul xy este inversibil, atunci aceștia sunt inversibili;
c) dacă R este finită și produsul xy este inversibil, atunci x și y sunt inversabile.
Avertismente: utilizați rezultatele problemei 2.15.
2.17. Dovedeste ca setul tuturor elementelor inversibile ale inelului (a se vedea Problema 2.15) formeaza un grup in multiplicare.
2.18. Rezolvați sistemul de ecuații
2.19. Determinați dacă sistemul de ecuații
2.20. Introducem grupului S „mișcări“ (rotație) al cercului ca un grup ale cărui elemente sunt toate rotații posibile, măsurate în radiani, în care rotirea în orice multiplu unghi de 2π, identificat cu rotație zero (identitatea setului de puncte într-un cerc).
Dovada că grupul S este izomorf la grupul de coeficienți ℝ / ℤ, care, la rândul său, este izomorf cu grupul aditiv S 1 de numere reale modulo 1.
2.21. Fie M = (G, +, 0. α, A ∈ R>) modulul din stânga peste inelul R = (R, +, ⋅, 0, 1). Este corespondența dintre elementele a unui inel R și mapările aa unu la unu? În special, maparea zero este întotdeauna determinată numai de zero a lui R?
Notă: luați în considerare modulul stâng al matricelor coloanelor din formularul (x 0) T. x ∈ R, peste inelul matricelor triunghiulare superioare de ordinul doi și arătați că răspunsurile la întrebări sunt negative.