Logica intuiționistă este logică clasică cu axiomul exclus al celei de-a treia excluse. Inițial a fost dezvoltat de Arend Heiting pentru a oferi o bază oficială pentru teoria intuiționismului. În locul noțiunii de adevăr, logica intuiționistă operează cu conceptul de verificabilitate a transformărilor efectuate asupra expresiilor. Din punct de vedere practic, logica intuiționistă este extrem de convenabilă, deoarece are o proprietate a existenței. care ne permite să folosim această logică ca instrument pentru alte forme de constructivism matematic.
formule de sintaxă în logica intuiționiste este similară cu sintaxa logicii propozițiilor sau logica de ordinul întâi. Diferența este că multe dintre tautologiile acestor logici clasice nu pot fi dovedite în cadrul logicii intuiționiste. Exemplele care pot duce nu numai la legea exclus a treia (\ (P \ i \ NEG P \)), dar legea lui Pierce (\ (((P \ rightarrow Q) \ rightarrow P) \ rightarrow P \)) și chiar legea negarea negației în logica clasică, ambele expresii \ (P \ rightarrow \ Neg \ Neg P \) și \ (\ Neg \ Neg P \ rightarrow P \) sunt teoreme. În logica intuiționiste, doar prima expresie este o teorema: negarea negației poate fi afișat, dar nu pot fi eliminate.
Observarea faptului că multe tautologii clasice nu sunt teoreme în logica intuiționistă sugerează că sistemul de dovezi al logicii clasice este suficient de slab.
Axiomatici [edita]
Regula de ieșire utilizată este Modus Ponens. Sistemul de axiom este următorul:
- THEN-1: \ (\ phi \ rightarrow (\ chi \ rightarrow \ phi) \)
- ATUNCI-2: \ ((\ phi \ rightarrow (\ chi \ rightarrow \ psi)) \ rightarrow ((\ phi \ rightarrow \ chi) \ rightarrow (\ phi \ rightarrow \ psi)) \)
- ȘI-1: \ (\ phi \ și \ chi \ rightarrow \ phi \)
- ȘI-2: \ (\ phi \ și \ chi \ rightarrow \ chi \)
- ȘI-3: \ (\ phi \ rightarrow (\ chi \ rightarrow (\ phi \ și \ chi)
- OR-1: \ (\ phi \ rightarrow \ phi \ sau \ chi \)
- OR-2: \ (\ chi \ rightarrow \ phi \ sau \ chi \)
- OR-3: \ (\ phi \ rightarrow \ psi) \ rightarrow (\ chi \ rightarrow \ psi) \ rightarrow (\ phi \
- NOT-1: \ ((\ phi \ rightarrow \ chi) \ rightarrow \ (\ phi \ rightarrow \ neg \ chi) \ rightarrow \ neg \
- NOT-2: \ (\ phi \ rightarrow (\ neg \ phi \ rightarrow \ chi) \)
Pentru a face sistemul dat de axiomuri compatibil cu logica predicatelor primei ordini, se adaugă o regulă de generalizare și următorul set de axiome:
- PRED-1: \ ((\ pentru toate x Z (x)) \ rightarrow Z (t) \)
- PRED-2: \ (Z (t) \ rightarrow (\ pentru toate x Z (x)) \)
- PRED-3: \ ((\ forall x (W \ rightarrow Z (x)) \ rightarrow (W \ rightarrow \ forall x Z (x)
- PRED-4: \ ((\ forall x (Z (x) \ rightarrow W)) \ rightarrow (\
Determinarea reciprocă a operațiunilor [editați]
În logica propozițională clasică (logica propozițională) este posibilă construirea unei baze de operații care să permită o definiție a operațiilor prin intermediul altora. De exemplu, baza este cele trei operațiuni ale lui Lukasevich - conjuncție. disjuncție și negare. Mai mult decât atât, există baze constând dintr-o operație și, prin urmare, operațiunile enumerate pot fi definite prin intermediul acestor baze un operator. Pentru ei, de exemplu, sunt: săgeata lui Pierce (NOR - nu OR) și accidentul lui Scheffer (NAND - nu AND). Absolut, de asemenea, în logica clasică a primului ordin, unul dintre cuantificatori poate fi determinat prin celălalt prin negare.
Mai jos sunt formulele fundamentale prin care operațiunile sunt definite una prin cealaltă. Toate aceste formule sunt doar funcții booleene (prin legea bivalenței). Dar legea bivalenței nu funcționează în logica intuiționistă, deoarece adoptă legea consecvenței. Ca rezultat, multe identități din logica clasică sunt logică intuiționistă numai cu teoreme cu o direcție a corolarului (deși unele rămân teoreme de echivalență). Acestea sunt teoremele:
- Conjuncția unei conjuncții și a unei disjuncții:
- \ (\ phi \ wedge \ psi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- \ (\ phi \ vee \ psi) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- \ (\ neg \ phi \ vee \ neg \ psi) \ pentru a \ neg (\ phi \ wedge \ psi) \)
- \ (\ neg \ phi \ wedge \ neg \ psi) \ leftrightarrow \ neg (\ phi \ vee \ psi)
- Legătura dintre conjuncție și implicare:
- \ (\ phi \ wedge \ psi) \ pentru a \ neg \ (\ phi \ to \ neg \ psi) \)
- \ (\ phi \ to \ psi) \ să \ neg \ (\ phi \ wedge \ neg \ psi) \)
- \ (\ phi \ wedge \ neg \ psi) \ pentru a \ neg (\ phi \ to \ psi) \)
- \ (\ phi \ to \ neg \ psi) \ leftrightarrow \ neg (\ phi \ wedge \ psi) \)
- Legătura dintre disjuncție și implicare:
- \ (\ phi \ vee \ psi) \ (\ neg \ phi \ to \ psi) \)
- \ (\ neg \ phi \ vee \ psi) \ (\ phi \ to \ psi) \)
- \ (\ neg \ \ \ \ \ \ \ psi \) \ \ \ \ \
- \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ "
- Legătura dintre cuantificatorii universalității și existenței:
- \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\
- \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\
- \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\
Pentru clarificare, se pot lua în considerare următoarele exemple. În logica intuiționistă expresia "a sau b" este mai puternică decât expresia "dacă nu a, atunci b", deoarece al doilea implică al doilea, dar nu invers (în logica clasică, aceste afirmații sunt identice). Pe de altă parte, expresia "nu (a și b)" este echivalentă cu a spune "nu a sau nu b", deoarece fiecare dintre ele poate urma de la cealaltă.
Calculul consecințelor [editați]
Gerhard Gentzen a constatat că prezența unei restricții simple în sistemul său (LK) (calculul consecințelor pentru logica clasică) conduce la faptul că sistemul devine complet în termeni de logică intuiționistă. El a numit acest nou sistem cu restricție ca \ (LJ \).
Semantica logicii intuitioniste este mai complexă decât pentru logica clasică. Un model teoretic poate fi descris cu ajutorul algebrei Heiting sau cu o notație echivalentă sub formă de semantică Kripke.
Semantica de algebra Heiting [citare necesare]
În logica clasică, valorile adevărului sunt adesea discutate. care poate accepta variabile. Astfel de valori sunt de obicei alese din setul de valori al alfabetei booleene. conjuncție și operarea disjuncție sunt notate în algebra \ Boolean (\ i \) și \ (\ sau \), respectiv, astfel încât formula \ (A \ și B \) reprezintă disjuncției a două valori de adevăr (\ (A \) și \ (B \)) în algebra booleană. În acest caz, există o teorema, care prevede că formula este corectă în logica clasică, dacă și numai dacă valoarea sa este egală cu \ (1 \) pentru orice valori de adevăr ale variabilelor sale membre.
Teorema corespunzătoare este de asemenea adevărată în logica intuiționistă, dar în locul valorilor algebrei booleene sunt folosite valorile algebrei Heiting. pentru care algebra booleană este un caz particular. Formula este corectă în logica intuiționistă dacă și numai dacă returnează valoarea elementului cel mai înalt în algebra Heiting pentru orice valoare a adevărului variabilelor care intră în ea.
Se poate demonstra că pentru a demonstra corectitudinea formulei este suficient să găsești o simplă algebră Heiting, ale cărei elemente sunt seturi în planul simplu (R ^ 2). În această algebră operații \ (\ i \) și \ (\ sau \) corespund intersecției și unirea seturilor, iar valoarea formule \ (A \ rightarrow B \) este expresia \ ((A ^ C \ capac B) ^ \), adică, interiorul intersecției mulțimii \ (B \) și completarea setului \ (A \). Cel mai mic element este setul gol, cel mai de sus este universul \ (R ^ 2 \). Negația este definit în general ca \ (\ Neg A \ echiv A \ rightarrow \ gol \), prin urmare, negarea este redusă la \ expresie (A ^ \), este interiorul complementul \ (A \).
De exemplu, formula \ (\ Neg (A \ și \ Neg A) \) este corectă, deoarece care imateriale set este ales ca valoarea setului \ (A \), valoarea acestei formule este întregul plan bidimensional: $$ Value (\ Neg (A \ și \ Neg A)) = $$ $$ (Value (A \ și \ Neg A)) ^ = $$ $$ (Value (A) \ capac de valoare (\ Neg A)) ^ = $$ $ $ (X \ cap (Valoare (A)) ^ ^ ^ $$ $$ (X \ cap X ^) ^ $$
O teoremă de topologie spune că \ (X ^ \) este un subset de \ (X ^ C \), prin urmare intersecția seturilor este goală: $$ \ empty ^ = (R ^ 2) ^ = R ^
Astfel, formula este o tautologie pentru orice valoare a adevărului a variabilelor care intră în ea.
Se poate arăta, de asemenea, că legea treimii excluse este incorectă în logica intuiționistă. În acest scop, valoarea termenului \ (A \) este de a face setul \ (\
Algebra infinită Heiting descrisă mai sus face posibilă verificarea corectitudinii tuturor formulelor din logica intuiționistă, indiferent de ce valori de adevăr sunt atribuite variabilelor din formule. În schimb, pentru o formulă incorectă, există o modalitate de a seta valorile adevărului la variabilele de formulare, ceea ce duce la o interpretare incorectă a acestei formule. Se poate de asemenea arăta că niciuna dintre algebrele Heying finite nu are această proprietate.
Semantica lui Kripke [edita]
Pe baza semantica sale logicii modale Saul Kripke a creat o altă semantică pentru logica intuiționiste, cunoscut sub numele său - „semantica Kripke“ sau „semantica relative“ [1].