Comprimarea compresivă

Măsurarea compresivă este reprezentarea în sine a unui spațiu metric, reducând distanța dintre oricare două puncte nu mai puțin de

\ alpha> 1

timp. Conform teoremei lui Banach. pentru o mapare compresivă a unui spațiu metric complet în sine există un punct fix, exact unul. Această afirmație, denumită și principiul "cartografierii contracțiilor", este folosită pe scară largă în dovada diferitelor afirmații matematice.

definiție

Să presupunem că într-un spațiu metric $(\ mathbb, \ rho)$ operatorul definit $A: \ mathbb \ to \ mathbb$ . Se numește compresiv pe $\ mathbb$ , dacă există un număr nonnegativ $\ alpha<1$ , pentru oricare două puncte $x, y \ în \ mathbb$ inegalitatea

continuitate

lăsa $(\ mathbb, \ rho)$ Este un spațiu metric și $\ mathbb<>A$ - operatorul de contracție la $\ mathbb$ . atunci $\ mathbb<>A$ Este o funcție continuă pe $\ mathbb$ .

Luăm un element arbitrar $\ în \ mathbb$ . Este necesar să se demonstreze (prin definiția continuității unei funcții) că pentru $\ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ există \ delta> 0:$ pentru $\ forall \ în \ mathbb: \ rho (a, x)<\delta\to$ . Pentru un operator de contracție este suficient să se ia $\ delta = \ varepsilon: \ rho (Aa, Ax) \ leqslant \ alpha \ cdot$ .

Punct fix

Prin teorema lui Banach există un punct fix unic pentru o cartografiere contractivă pe un spațiu metric complet.

Secvență iterativă

Dacă luăm un element arbitrar al unui spațiu metric $x$ și să ia în considerare secvența de elemente $x, Ax, A ^ 2x.$ , Această secvență de iterație va converge la punctul fix al operatorului $A$ .

cerere

Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare