Găsiți cea mai mică valoare a funcției f (x) = x 3 - 3x 2 - 9x + 31 pe intervalul [-1; 4].
Amintiți-vă că orice funcție are cea mai mică sau cea mai mare valoare atunci când derivatul său este zero sau nu există.
Găsim derivatul y '(x) și îl echivăm la zero.
y '(x) = (x 3 -3x 2 -9x + 31)' = 3x 2 - 6x - 9 - există pentru orice x.
Reducem cu 3: x 2 - 2x - 3 = 0
D = b 2 -4ac, D = (-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
x1 = -1, x2 = 3 - în aceste puncte, funcția y (x) presupune cea mai mică sau cea mai mare valoare.
Când derivatul este mai mic decât zero, funcția scade.
Atunci când derivatul este mai mare decât zero, funcția crește.
Să ne uităm la semnele derivatului.
Pentru x<-1 y ´ (x)>0, funcția y (x) crește
La -1 Pentru x> 3 y '(x)> 0, funcția y (x) crește Pe intervalul [-1; 4], funcția scade până la punctul x = 3 și crește după aceasta, deci cea mai mică valoare la punctul 3. Înlocuim x = 3 într-o funcție, obținem: y (3) = 3 3 - 3 * 3 2 - 9 * 3 + 31 = 27-27-27 + 31 = 4; Găsiți cea mai mică valoare a funcției y = 4cosx + 13x + 9 pe intervalul [0; 3P / 2]. Amintiți-vă că orice funcție are cea mai mică sau cea mai mare valoare atunci când derivatul său este zero sau nu există. Găsim derivatul y '(x). y '(x) = (4cosx + 13x + 9)' = -4sinx + 13 Rețineți că y '(x)> 0 pentru orice x, deoarece -4sinx + 13> 0 ⇔ -4sinx<-13 ⇔ 4sinx<13, sinx<13:4, sinx<3,25 как мы знаем, это выполнимо всегда, так как sinx≤1. Facem această concluzie: deoarece derivatul y '(x)> 0 pentru x∈ [0; 3P / 2]. atunci funcția crește pe acest segment, iar cea mai mică valoare va fi pentru cel mai mic x al acestui segment - acesta este x = 0. Înlocuiți x = 0 în y (x) și obțineți y (x) = 4cos * 0 + 13 * 0 + 9 = 13. Găsiți cea mai mare valoare a funcției y = ln (7x) -7x + 7 pe intervalul [1/14; 5/14]. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției y = ln (7x) -7x + 7 pe intervalul [1/14; 5/14], găsim derivatul funcției y '(x): y '(x) = (ln (7x))' - (7x) '+ 7 = 1 / 7x * (7x)' - 7 + 0 = 1 / 7x * 7 - 7 = 1 / x - 7. Am folosit formula (f (g (x))) = f '(g (x)) * g' (x). Ecuația derivatului la zero pentru a găsi punctul maxim: Rețineți că pentru x ∈ [1/14; 1/7] derivatul y '(x)> 0 și pentru x ∈ [1/7; 5/14] derivatul y '(x)<0, то есть до точки х=1/7 функция возрастает, а после - убывает. Prin urmare, funcția y (x) presupune cea mai mare valoare la punctul x = 1/7. Să o găsim: (1/7) = ln (7 * 1/7) - 7 * 1/7 + 7 = ln1 - 1 + 7 = 0-1 + 7 = 6. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y = (x 2 -7x + 7) * e x-5 pe intervalul [4; 6]. Amintiți-vă că orice funcție are cea mai mică sau cea mai mare valoare atunci când derivatul său este zero sau nu există. Găsim derivatul y '(x) și îl echivăm la zero. y „(x) = (2x-7) * e x-5 + (x 2 -7x + 7) * e-x 5 = e-x 5 * (x 2 -5x) = e-x 5 * x * (x-5). Vom vedea că derivatul este zero pentru x1 = 0 și x2 = 5 Rețineți că pentru x ∈ [4; 5) derivatul y '(x)<0 и значит функция убывает pentru x ∈ (5; 6), derivatul y '(x)> 0 și, prin urmare, funcția crește Adică, atunci când x = 5 y '(x) își schimbă semnul de la - la +, apoi la x = 5, cea mai mică valoare: y (5) = (5 2 - 7 * 5 + 7) * e = 5-5 (25 - 35 + 7) * e 0 = -3 * 1 = -3. Găsiți punctul maxim al funcției y = log4 (-3 + 4x-x2) + 7. Funcția y = log 4 (-3 + 4 x 2) + 7 crește, deoarece baza logaritmului mai mare decât 1. Prin urmare, punctul maxim este punctul în care expresia logaritmului va lua valoarea maximă. Să analizăm expresia -χ 2 + 4χ-3. Observăm că graficul acestei funcții va fi o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos și, prin urmare, valoarea maximă va fi la vârful parabolei. Rămâne pentru a găsi abscisa x0 parabolei vertex = -b / 2a = 4/2 * (- 1) = 2. Dacă x0 = 2 expresie în logaritm ia cea mai mare valoare, și, prin urmare, y = log 4 (-3 + 4 x 2) 7 de asemenea.Articole similare