Reguli de calcule aproximative
Numerele sunt exacte și aproximative
Numerele cu care ne întâlnim în practică sunt de două feluri. Unele au o valoare exactă a valorii, altele - doar aproximative. Cel mai adesea este convenabil să utilizați un număr aproximativ în loc de un număr exact, mai ales că în multe cazuri nu se poate găsi deloc un număr exact.
Deci, dacă spun că există 29 de elevi în clasă, atunci numărul 29 este exact. Dacă spunem că distanța dintre Moscova și Kiev încă 960 km, nu este numărul 960 - aproximative, deoarece, pe de o parte, instrumentele noastre de măsurare nu sunt complet corecte, pe de altă parte, orașele în sine au o anumită lungime.
Rezultatul acțiunilor cu numere aproximative este, de asemenea, un număr aproximativ. Prin efectuarea unor operații pe numerele exacte (divizare, extragerea rădăcinii), se pot obține și cifre aproximative.
Teoria calculelor aproximative permite:
1) cunoașterea gradului de exactitate a datelor, pentru a evalua gradul de acuratețe al rezultatelor;
2) să ia datele cu un grad de precizie adecvat, suficient pentru a asigura precizia necesară a rezultatului;
3) să raționalizeze procesul de calcul, eliberându-l de acele calcule care nu vor afecta exactitatea rezultatului.
Atunci când efectuați calcule, este întotdeauna necesar să vă amintiți precizia de care aveți nevoie sau puteți obține. Este inadmisibilă efectuarea calculelor cu o mare precizie, dacă datele sarcinilor nu permit sau nu o cer (de exemplu, tabelul cu sapte cifre a logaritmilor în calcule cu numere cu 5 cifre semnificative este redundant). O cunoaștere solidă cu regulile calculelor aproximative este necesară pentru toți cei care trebuie să calculeze.
Acțiuni la numere aproximative
Rezultatul acțiunilor asupra cifrelor aproximative este, de asemenea, un număr aproximativ. Eroarea în rezultat poate fi exprimată prin erorile datelor originale cu ajutorul următoarelor teoreme:
1. Eroarea absolută limitativă a unei sume algebrice este egală cu suma erorilor absolute limită ale termenilor.
2. Eroarea relativă a sumei este între cea mai mare și cea mai mică eroare relativă a termenilor.
3. Eroarea relativă a produsului sau a coeficientului este egală cu suma erorilor relative ale factorilor sau, respectiv, dividendul și divizorul.
4. Eroarea relativă a puterii n-a a numărului aproximativ este de n ori mai mare decât eroarea relativă a bazei (atât integrale, cât și fracțional n).
Folosind aceste teoreme, se poate determina eroarea în rezultatul oricărei combinații de operații aritmetice peste numere aproximative.
Eroarea absolută absolută depășește cu siguranță valoarea absolută a erorii reale, deoarece valoarea limită se calculează presupunând că diferite erori se amplifică reciproc; În practică, acest lucru se întâmplă rar. În cazul calculelor în masă, atunci când eroarea fiecărui rezultat individual nu este luată în considerare, se utilizează următoarele reguli pentru calcularea cifrelor.
Dacă se respectă aceste reguli, putem presupune că, în medie, rezultatele obținute vor avea toate semnele corecte, deși în unele cazuri este posibilă o eroare a mai multor unități ale ultimului semn.
1. Atunci când adăugați și scădeți numerele aproximative, ca rezultat, ar trebui să stocați cât mai multe zecimale în comparație cu cele cu cel mai mic număr de zecimale.
Un exemplu. Găsiți suma numerelor aproximative 127.42; 67,3; 0,12 și 3,03.
Un exemplu. Găsiți diferența de numere: 418.7 - 39.832
Soluția. 418,7 - 39,832 = 378,87 = 378,9.
2. Atunci când se înmulțește și se divide ca rezultat, este necesar să se păstreze cât mai multe cifre semnificative ca datele lor aproximative cu cel mai mic număr de cifre semnificative.
Un exemplu. Înmulțiți numerele aproximative 3,4 și 12,32.
Un exemplu. Suprafața patului dreptunghiular este de aproximativ 7,6 m 2 latime de 2,38 m. Care este lungimea sa?
Soluția. Lungimea patului este egală cu coeficientul de împărțire între 7,6 și 2,38.
Efectul împărțirii este după cum urmează: 7.6: 2.38 m = 3.19 m = 3.2 m.
Ultima cifră a personalului 9 nu a putut fi scrisă, dar, după ce a primit în cifrele private două persoane semnificative, remarcând că restul celei mai mari jumătăți a divizorului, a rotunjit partea privată cu exces.
3. Odată cu construcția în pătrat sau cub ca urmare ar trebui să fie păstrate ca cifre semnificative, cât de mulți dintre ei au ridicat la numărul aproximativ de putere (ultima cifră a pătrat și cub special atunci când este mai puțin fiabile decât cifra de bază din urmă).
4. Prin creșterea rădăcini pătrate și cubice, ca urmare ar trebui să fie luate ca cifre semnificative, cât de multe dintre ele au o valoare aproximativă de rădăcina pătrată a (ultima cifră a rădăcini pătrate și cubice mai ales atunci când este mai fiabil decât ultima cifră a rădăcinii pătrate).
5. În toate rezultatele intermediare, un număr ar trebui păstrat mai mult decât recomandă regulile precedente. În rezultatul final, această cifră (rezervă) este aruncată.
6. În cazul în care unele date au mai multe zecimale (cu adunarea și scăderea) sau cifre mai semnificative (cu multiplicare, diviziune, exponentiala, rădăcină pătrată) decât cealaltă, ele trebuie să fie primul tur, păstrând doar o singură cifră în plus.
Aplicarea calculelor în modul de numărare a cifrelor va fi luată în considerare cu un exemplu.
Decizie (cifrele de rezervă subliniate). a - b = 9,31 - 3,1 = 6,21;
Notă. Regulile de mai sus pentru calcularea numerelor au un înțeles probabilist: ele sunt cele mai probabile, deși există exemple care nu satisfac aceste reguli. Prin urmare, calculele prin metoda de calcul a cifrelor reprezintă cea mai brută modalitate de estimare a erorii rezultatelor acțiunilor. Cu toate acestea, este foarte simplu și convenabil, iar precizia acestor calcule este suficientă pentru majoritatea calculelor tehnice. Prin urmare, această metodă este utilizată pe scară largă în practica computațională.
În calculele mai responsabile utilizați metoda limită sau metoda erorilor de limită.