1. Dacă un rând (coloană) al matricei constă doar din zerouri, atunci determinantul său este egal cu 0.
2. Dacă toate elementele din orice rând (coloana) matricei sunt înmulțite cu un număr # 955; atunci determinantul său este înmulțit cu acest număr # 955;
3. Atunci când matricea este transpusă, determinantul său nu se modifică: | A '| = | A |.
4. Atunci când două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt schimbate, determinantul îi inversează semnul.
5. Dacă o matrice pătrată conține două rânduri identice (coloane), atunci determinantul ei este 0.
6. Dacă elementele a două rânduri (coloane) ale matricei sunt proporționale, atunci determinantul ei este 0.
7. Suma produselor elementelor dintr-un rând (coloană) dintr-o matrice prin complementul algebric al elementelor unui alt rând (coloană) a acestei matrice este egală cu 0.
8. Determinantul matricei nu se va schimba dacă elementele unui alt rând (coloană) sunt adăugate la elementele unui rând (coloană) al matricei, înmulțit anterior cu același număr.
9. Suma produselor cu numere arbitrare b1. b2. ..., bn prin complementul algebric al elementelor din orice rând (coloană) este egal cu determinantul matricei obținute din înlocuirea dată a elementelor din acest rând (coloană) cu numerele b1. b2. ..., bn.
10. Determinantul produsului a două matrice pătrată este egal cu produsul determinanților lor:
C | = | A | * | B |, unde C = A * B; Matricile A și B de ordine n.
Noi numim transformări elementare ale matricei următoarele:
1. Scoateți rândul zero (coloana).
2. Înmulțirea tuturor elementelor unui rând (coloană) a matricei cu un număr care nu este egal cu zero.
3. Modificarea ordinii rândurilor (coloanelor) matricei.
4. Adăugați la fiecare element al unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) înmulțit cu orice număr.
5. Transformați matricea.
Pentru a rezolva și a studia o serie de probleme matematice și aplicate, noțiunea de rang de matrice este importantă.
Definiția. Rangul matricei A este cea mai înaltă ordine a minorilor non-zero ai acestei matrice.
Rangul matricei A este notat cu rangul A sau r (A).
Proprietățile rangului matricei:
1 0. Rangul matricei A nu depășește dimensiunile mai mici;
rang A ≤ min (m; n);
2 0. r (A) = 0 dacă și numai dacă toate elementele matricei sunt zero, adică A = 0;
3 0. Pentru o matrice pătrată a ordinului n, r (A) = n dacă și numai dacă matricea A este nondegenerată.
O matrice pătrată A este considerată a fi nondegenerată sau nonsingulară. dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat sau singular. dacă # 916; = 0.
Teorema. Rangul matricei nu se modifică sub transformările matricei elementare.
Astfel, prima metodă de a găsi rangul unei matrici este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.
Să presupunem că trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordine.
Descriim pe scurt algoritmul pentru rezolvarea acestei probleme în modul de selectare a minorilor.
Dacă există cel puțin un element de matrice diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin unul (deoarece este minor din primul ordin, nu egal cu zero).
În continuare, menționăm minorii de a doua generație. Dacă toți minorii ordinii a doua sunt zero, atunci rangul matricei este egal cu unul. Dacă există cel puțin un minor minor de ordinul doi, atunci continuăm să căutăm minorii din ordinul trei, iar rangul matricei este de cel puțin două.
În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este de două. Dacă există cel puțin un minor minor de la al treilea rând diferit de zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei, iar noi depășim căutarea minorilor de ordinul patru.
Găsiți rangul matricei.
Deoarece matricea este non-zero, rangul său este cel puțin unul.
Minorul de ordinul doi este diferit de zero, de unde rangul matricei A este cel puțin două. Să mergem la rezolvarea minorilor de ordinul trei. Toate piesele.
Toți minorii de la a treia comandă sunt zero. Prin urmare, rangul matricei este de două.