În cazul oscilațiilor forțate, sistemul oscilează sub acțiunea unei forțe externe (forțarea) și datorită activității acestei forțe, pierderile de energie ale sistemului sunt compensate periodic. Frecvența oscilației forțate (frecvența de conducere) depinde de schimbarea de frecvență a forței externe definesc amplitudinea vibrațiilor forțate de o masa m a corpului, presupunând oscilații neamortizate datorită forței permanente.
Lăsați această forță să se schimbe în timp în conformitate cu legea. unde este amplitudinea forței motrice. Forța de întoarcere și forța de rezistență Apoi, a doua lege a lui Newton poate fi scrisă în următoarea formă:
Să presupunem că oscilațiile forțate la starea de echilibru ale sistemului care decurg din acțiunea sistemului sunt de asemenea armonice: (7.22) unde frecvența lor ciclică este egală cu frecvența ciclică ω a forței motrice.
Diferențiez de două ori (7.22) și înlocuim în (7.21), obținem
Apoi ultima ecuație poate fi scrisă în următoarea formă:
Partea dreaptă a acestei expresii poate fi privită ca ecuația unei oscilații armonice obținute când se adaugă trei oscilații armonice, determinate de termenii părții stângi a acestei ecuații. Pentru a adăuga aceste oscilații, vom folosi metoda diagramei vectoriale. Desenați linia de referință OX (Figura 1.9) și trasați vectorii ,,, amplitudinile lor la unghiurile corespunzătoare fazelor inițiale ale tuturor celor patru oscilații, astfel încât
Din fig. 7.9 vedem că substituind în ultimele valori ale amplitudinilor corespunzătoare (1.22), obținem:
Amplitudinea oscilațiilor forțate la starea de echilibru este direct proporțională cu amplitudinea forței motrice F0. este invers proporțională cu masa m a sistemului și scade cu creșterea coeficientului de amortizare β. Pentru constanta F0. m și β, amplitudinea depinde numai de raportul dintre frecvențele ciclice ale forței motoare β și oscilațiile libere neamplate ale sistemului. La o frecvență ciclică a forței motoare ω = 0, amplitudinea oscilațiilor. În acest caz, oscilațiile nu sunt făcute și deplasarea cu vibrații forțate este egală cu deformarea statică sub acțiunea unei forțe constante F0:
Prin urmare, abaterea A0 este denumită uneori amplitudinea statică.
Dacă nu există nici o disipare, adică β = 0, atunci amplitudinea oscilațiilor
crește cu o creștere a frecvenței ciclice ω a forței motrice și devine infinit de mare (figura 7.10). Cu o creștere suplimentară a frecvenței ciclice ω, amplitudinea A a oscilațiilor forțate scade și
Fenomenul unei creșteri accentuate a amplitudinii oscilațiilor forțate, deoarece frecvența de conducere ω abordează frecvența naturală a sistemului, se numește rezonanță.
Dacă există amortizarea, atunci amplitudinea oscilațiilor forțate atinge o valoare maximă, atunci când numitorul din partea dreaptă pentru ecuația (7.23) atinge un minim. Ecuând primul derivat cu privire la ω de la radicand la zero, obținem condiția pentru minimul său, pentru care. unde - se numește frecvența rezonantă. denotă valoarea frecvenței ciclice ω a forței motrice, la care.
Din ultima formulă rezultă că pentru un sistem conservator. și pentru un sistem disipativ, ceva mai puțin decât frecvența ciclică proprie. Cu o creștere a coeficientului de amortizare ω, fenomenul de rezonanță se manifestă din ce în ce mai slab și, în final, dispare complet.
Fenomenul de rezonanță este folosit pentru a amplifica oscilațiile, de exemplu oscilațiile electromagnetice. Cu toate acestea, atunci când se proiectează diferite mașini și structuri, trebuie luată în considerare și cea mai mică forță periodică pentru a preveni consecințele nedorite ale rezonanței.
Toate sistemele oscilante reale sunt disipative. Energia vibrațiilor mecanice ale unui astfel de sistem este folosită treptat pentru a lucra împotriva forțelor de frecare, astfel încât oscilațiile libere sunt întotdeauna amortizate - amplitudinea lor scade treptat. În multe cazuri, atunci când nu există frecare uscată, la prima aproximare se poate presupune că la viteze reduse, forțele care determină amortizarea oscilațiilor mecanice sunt proporționale cu viteza. Aceste forțe, indiferent de originea lor, se numesc forțe de rezistență.
unde r este coeficientul de rezistență, v este viteza de mișcare. Să scriem a doua lege a lui Newton pentru oscilațiile amortizate ale corpului de-a lungul axei Ox