Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent

Una dintre secțiunile de matematică cu care studenții se confruntă cu cele mai mari dificultăți este trigonometria. Nu este surprinzător: să stăpânească în mod liber acest domeniu al cunoașterii, este nevoie de o gândire spațială, capacitatea de a găsi sinus, cosinus, tangenta, cotangentă de formule pentru a simplifica exprimarea, pentru a putea fi utilizate la calcularea valorii Pi. În plus, trebuie să puteți aplica trigonometria în dovada teoriei și aceasta necesită fie memorie matematică avansată, fie capacitatea de a deriva lanțuri logice complexe.

Originea trigonometriei

Familiarizarea cu această știință ar trebui să înceapă cu definirea sinusului, cosinusului și tangentei unghiului, dar mai întâi trebuie să înțelegem ce înseamnă trigonometria în general.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent
Din punct de vedere istoric, obiectul principal al cercetării din această secțiune a științei matematice a fost triunghiurile dreptunghiulare. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurinei în cauză pe două laturi și pe un colț sau pe două unghiuri și pe o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să o folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar artă.

Etapa inițială

Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul de triunghiuri dreptunghiulare. Apoi s-au deschis formule speciale care au permis extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei secțiuni de matematică.

Studiul trigonometrie azi la școală începe cu un triunghiuri unghi drept, iar apoi utiliza cunoștințele dobândite de studenți în fizică și rezolvarea ecuațiilor trigonometrice abstracte, lucru care începe în liceu.

Trigonometria sferică

Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, s-au folosit formule cu un sinus, cosinus, tangent, cotangent în geometrie sferică, unde funcționează și alte reguli, iar suma unghiurilor în triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar trebuie să știm despre existența ei cel puțin pentru că suprafața pământului și suprafața oricărei alte planete sunt convexe, ceea ce înseamnă că orice marcare a suprafeței va fi "în formă de arc" în spațiul tridimensional.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent
Luați globul și firul. Atașați firul la oricare dintre cele două puncte de pe glob pentru al face să se întindă. Fiți atenți - a găsit forma arcului. Cu astfel de forme, se aplică geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.

Dreptunghiular triunghi

Câteva metode de învățare despre aplicarea trigonometrie, vom reveni la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ceea ce un sinus, cosinus, tangenta, unele calcule le pot folosi pentru a efectua și ce fel de formula în care se utilizează.

În primul rând, este necesar să înțelegem conceptele legate de un triunghi în unghi drept. În primul rând, hypotenuse este partea care se află opus unghiului de 90 de grade. Este cea mai lungă. Ne amintim că prin teorema lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumelor dintre pătratele celorlalte două părți.

De exemplu, dacă cele două laturi sunt de 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea hipotenentei va fi de 5 centimetri. Apropo, vechii egipteni știau despre asta acum patru ani și jumătate de mie de ani.

Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc catetete. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor din triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.

definiție

În cele din urmă, înțelegând cu fermitate baza geometrică, se poate ajunge la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unghiului.

Un sinus al unui unghi este raportul piciorului opus (adică, partea opusă unghiului dorit) față de hypotenuse. Cosinusul unghiului este raportul piciorului adiacent la hypotenuse.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent
Amintiți-vă că nici sinusul, nici cosinusul nu pot fi mai mari decât unul! De ce? Deoarece hypotenuse este în mod implicit cea mai lungă parte a unui triunghi drept. Indiferent cât timp va fi, va fi mai scurt decât hypotenuse, ceea ce înseamnă că raportul va fi întotdeauna mai mic decât unul. Astfel, dacă aveți un sinus sau un cosinus cu o valoare mai mare decât 1 în răspunsul la problemă, căutați o eroare în calcule sau raționamente. Acest răspuns este neechivoc incorect.

În cele din urmă, tangenta unghiului este raportul dintre partea opusă și partea adiacentă. Același rezultat va duce la împărțirea sinusului cu cosinusul. Uită-te: conform formulei, împărțim lungimea laterală de către hipotensiune, apoi împărțim după lungimea celei de-a doua părți și înmulțim cu hipotensiunea. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.

Cotangent, respectiv, este raportul dintre partea adiacentă colțului și partea opusă. Acelasi rezultat se obtine prin impartirea unitatii prin tangenta.

Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce este un sinus, cosinus, tangent și cotangent și putem face față formulelor.

Cele mai simple formule

În trigonometrie, nu puteți face fără formule - cum să găsiți un sinus, cosinus, tangent, cotangent fără ele? Dar aceasta este ceea ce este necesar pentru rezolvarea problemelor.

Prima formulă pe care trebuie să o cunoașteți atunci când începeți să învățați trigonometria este că suma pătratelor sinusului și cosinusului unghiului este una. Această formulă este o consecință directă a teoremei pitagoreene, dar economisește timp dacă doriți să cunoașteți magnitudinea unghiului, nu partea.

Mulți studenți nu se pot aminti a doua formulă este, de asemenea, foarte popular în rezolvarea problemelor școlare: cantitatea de unități și tangenta pătrat este egală cu una împărțită la pătratul cosinusul unghiului. Priviți mai atent: aceasta este aceeași declarație ca și în prima formulă, numai ambele părți ale identității au fost împărțite într-un pătrat al cosinusului. Se pare că o simplă operație matematică face ca formula trigonometrică să fie complet nerecunoscută. Amintiți-vă, știind ce sinus, cosinus, tangenta și cotangentă, regulile de transformare, și câteva formule de bază, puteți aduce întotdeauna ei înșiși nevoie de formule mai complicate pe o bucată de hârtie.

Formule cu două unghiuri și adăugarea de argumente

Două alte formule pe care doriți să le învățați sunt legate de valorile sinusoidale și cosinuse pentru suma și diferența unghiurilor. Acestea sunt prezentate în figura de mai jos. Rețineți că, în primul caz, sinusul și cosinusul se înmulțesc de două ori, iar în cel de-al doilea caz se adaugă un produs pereche de sinus și cosinus.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent
Există, de asemenea, formule legate de argumente sub forma unui unghi dublu. Acestea sunt complet derivate din cele precedente - ca antrenament, încercați să le obțineți singuri, luând un unghi alfa egal cu colțul beta.

În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi transformate astfel încât să scadă gradul de sinus, cosinus, tangent alfa.

Două teoreme de bază în trigonometria de bază sunt teorema sine și teorema cosinus. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinus, cosinus și tangent și, prin urmare, zona figurinei, dimensiunea fiecărei părți și așa mai departe.

Teorema sinusală afirmă că, ca urmare a împărțirii lungimii fiecărei laturi a triunghiului cu valoarea unghiului opus, obținem același număr. Mai mult decât atât, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică un cerc care conține toate punctele triunghiului dat.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent
Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectându-l pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi se scade produsul înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia părți. Astfel, teorema pitagoreană se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.

Erori prin neatenție

Chiar dacă știm ce este sinus, cosinus și tangent, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii atenției sau a erorii în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, ne vom familiariza cu cele mai populare.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent
Mai mult, rețineți că pentru orice triunghi se aplică teorema cosinusului, dar nu teorema lui Pythagoras! Dacă uitați accidental, pentru a scădea de două ori pe partea de produs, înmulțită cu cosinusul unghiului dintre ei, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar, de asemenea, demonstrează o lipsă totală de înțelegere a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală din cauza lipsei de atenție.

În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiurile de 30 și 60 de grade pentru sines, cosines, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul este de 30 de grade egal cu cosinusul de 60 și invers. Ele sunt ușor de confundat, astfel încât veți obține în mod inevitabil o eroare.

cerere

Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul său aplicat. Ce este un sinus, cosinus, tangent pentru un inginer sau un astronom? Acestea sunt concepte prin care poți calcula distanța până la stele îndepărtate, prezice căderea unui meteorit, trimite o probă unei alte planete. Fără ele nu puteți construi o clădire, nu puteți proiecta o mașină, nu calculați sarcina pe suprafață sau traiectoria mișcării obiectului. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.

În concluzie

Deci, știi ce este sinus, cosinus, tangent. Le puteți folosi în calcule și rezolvați cu succes problemele școlare.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent
Întregul punct al trigonometriei se reduce la faptul că parametrii necunoscuți ai triunghiului trebuie să calculeze necunoscute. Toate cele șase acești parametri: lungimea celor trei laturi, iar valoarea celor trei unghiuri. Diferența dintre sarcini este că sunt date diferite intrări.

Cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangentul de la lungimile cunoscute ale picioarelor sau hypotenuse, știți acum. Deoarece acești termeni nu se referă pur și simplu raportul, iar raportul - este o fracție, scopul principal al problemei trigonometric devine găsirea unei ecuații normale sau rădăcinile ecuații. Și aici veți fi ajutați de matematica școlară obișnuită.

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent

Sine, cosinus, tangent ceea ce este ca a găsi sinus, cosinus și tangent

Articole similare