Tema. Rezolvarea problemelor pe tema "Dinamica unui punct material și a unui sistem de puncte materiale".
- pe exemplul unor probleme specifice, luați în considerare înregistrarea ecuației Newton cu proiecția ulterioară a acesteia pe axa sistemului de coordonate ales,
- ia în considerare modalități de rezolvare a problemelor pentru diferite tipuri de mișcări.
Pentru a rezolva problema, se recomandă efectuarea următoarelor acțiuni.
- Alegeți un cadru de referință inerțial.
- Luați în considerare toate forțele care acționează asupra fiecărui corp al sistemului. Pentru fiecare forță, indicați sursa acesteia.
- Faceți un desen pe care să indicați toate forțele și direcțiile de accelerare care acționează asupra corpurilor sistemului.
- Scrieți pentru fiecare corp ecuația de bază dinamică în formă vectorială.
- Selectați un sistem de coordonate pe care să proiectați ecuația vectorului de mișcare pe axă. Alegerea axelor este determinată de considerente de confort, adică ecuația de mișcare proiectată pe aceste axe trebuie să aibă forma cea mai simplă. Dacă sistemul de corpuri se mișcă, atunci pentru fiecare corp puteți alege sistemul de coordonate. Una dintre axe este cel mai convenabil îndreptată de-a lungul accelerației corpului. Dacă corpul se deplasează de-a lungul unui cerc, una dintre axe trebuie să fie trasă prin centrul cercului.
- Ecuațiile obținute sunt completate de relațiile care decurg din starea problemei: relația dintre forța de fricțiune și forța de reacție a suportului, a treia lege Newton și așa mai departe.
- Dacă este necesar, adăugați ecuații cinematice.
- Rezolvați sistemul de ecuații obținut în forma generală cu privire la cantitatea necunoscută.
- Estimați plauzibilitatea rezultatului obținut folosind metoda dimensională.
- Înlocuiți valorile numerice, după ce vă asigurați că toate datele sunt luate în același sistem de unități.
- Rezultatul obținut este analizat pentru conformitatea cu semnificația fizică a diferitelor valori ale parametrilor incluși în acesta.
1. În ce mod puteți stabili dacă un anumit organism se află într-un cadru de referință inerțial sau într-un cadru neinerțial?
2. În unele cazuri, personaje bine-cunoscute lebada fabulă, racul și știuca nu sa mutat într-adevăr coș, dacă presupunem că forțele la care sunt egale, iar frecarea dintre vagoanele și sol nu este?
3. De ce o persoană care rulează, încearcă să îndoaie rapid un copac sau un stâlp, își închide mâna?
4. Este posibilă ridicarea corpului de pe pământ, atașând la el o forță egală cu forța gravitației?
5. De ce transportă înclinații pentru încărcături grele?
6. Ce sunt „crescuți“ lamă care este dinții adiacenți înclinate în direcții opuse?
7. Dați o substanță fizică proverbului: "Kosi scuipă până la rouă, rouă în jos și ne întoarcem acasă".
8. Organismul atârnă pe firul A. Corpul A atârnă pe corpul A pe arc. Este corpul suspendat cu aceeași accelerație dacă firul suspensiei este ars?
9. Atunci când împrăștiați culturile manual, buruienile nu trebuie extrase prea repede de la sol. De ce?
10. De ce, sărind de la o mare înălțime pe o prelată întinsă, puteți rămâne intacte?
11. Cum slăbim puterea unei mingi grele când este prinsă de mâini?
12. Pentru a ciocni un cui într-un perete de placaj este dificil - la un impact placajul se îndoaie. Cu toate acestea, cuiul poate fi ciocanit dacă un corp masiv, de exemplu un topor, este așezat pe partea opusă a peretelui. Cum pot explica asta?
13. O navă într-o coliziune cu o barcă o poate scufunda fără nici un prejudiciu pentru sine. Cum este aceasta în concordanță cu egalitatea de acțiune și opoziție?
14. Eroul uneia dintre poveștile de E. RASPE Munchausen spune, „a apucat sa spiralată, m-am luptat și am tras în sus, fără dificultate de mult scos din mlaștină el și calul său, care este prinsă cu ambele picioare ca forcepsul.“ Este posibil să vă ridicați în acest fel?
15. Meteoritul arde în atmosferă, fără a ajunge la suprafața Pământului. Ce se întâmplă cu impulsul său?
16. Ce determină viteza mișcării rachetei în absența forțelor externe?
17. De ce este mai ușor să deșurubați piulița cu o cheie lungă decât una scurtă?
Exemple de rezolvare a problemelor de calcul
Problema 1. Placa orizontală are o înălțime treaptă care se reazemă N. liber situată pe bord cilindru omogen de rază R> H. Placa este deplasat orizontal către accelerația (Fig. 1). Găsiți accelerația maximă posibilă la care cilindrul nu se ridică încă la pas. Fricțiunea este neglijată.
Forța de gravitație și două forțe de reacție a unui act de sprijin pe cilindru și (figura 2). În cadrul referinței legate de Pământ, ecuația de mișcare a cilindrului are forma
Proiectăm această ecuație pe axele de coordonate X și Y:
unde a este unghiul care formează vectorul cu orizontala.
În ceea ce privește problema de a găsi accelerația maximă a plăcii, în care cilindrul nu este chiar începe să se ridice o crestătură, atunci acest lucru corespunde unui moment critic, care este punctul de jos va fi pe punctul de separare de la bord. Apoi ecuațiile de mișcare iau forma:
Rezolvându-le împreună, vom obține. Unghiul a poate fi găsit din considerente geometrice
Apoi, accelerația cu care se va mișca bordul este determinată de relația
Răspuns: accelerația maximă posibilă.
Problema 2. Într-un vas cu un lichid până la fund, o minge de masă m și o rază r este atașată la lungimea filamentului. Nava începe să se rotească la o viteză unghiulară w. Determinați unghiul dintre fir și axa de rotație. Densitatea unui lichid.
Mingea, scufundată în lichid, acționează gravitațional, forța arhimedei și tensiunea firului (Figura 3). În cadrul de referință asociat cu Pământul, ecuația de mișcare este scrisă după cum urmează:
Proiectați această ecuație pe axele X și Y. Deoarece mingea se deplasează de-a lungul circumferinței, se recomandă purtarea axei X prin centrul acestui cerc.
Rezolvând acest sistem de ecuații și ținând cont de faptul că ,, obținem
Problema 3. Un inel de cauciuc subțire de rază a fost răsturnat la o viteză unghiulară w. Găsiți noua rază a inelului, dacă rigiditatea arcului k. Masa inelului este m. Forțele externe nu iau în considerare.
Pentru a utiliza ecuația de bază dinamică, am împărțit inelul în elemente N mici, astfel încât să putem presupune că toate punctele unei astfel de secțiuni elementare se mișcă cu aceeași accelerație. Lăsați o astfel de secțiune elementară să fie contractată de unghiul a. Pe ea din partea elementelor învecinate sunt forțele elasticității și direcționate de-a lungul tangentei către cerc (figura 4). Ecuația de bază a dinamicii pentru elementul selectat este scrisă după cum urmează:
aici D m este masa elementului selectat.
Deoarece acest element se mișcă de-a lungul circumferinței, este de dorit să se proiecteze ecuația dinamică pe axa X care trece prin centrul inelului:
Din moment ce inelul este întins uniform, atunci. Având în vedere dimensiunea redusă a unghiului unui elementar fiecare zonă poate fi considerată ca fiind de aproximativ drepte și vă puteți aplica legea lui Hooke:
unde - rigiditatea acestei secțiuni - lungimea sa în stare nedeformată. Rezumând relațiile lui Hooke cu privire la toate elementele inelului, ajungem. Greutatea secțiunii elementare va fi. Apoi ecuația de bază dinamică va lua forma
Pentru unghiuri mici, prin urmare, putem scrie
Soluția are o semnificație fizică dacă viteza unghiulară de rotație a inelului satisface relația. În caz contrar, va exista o deformare ireversibilă a inelului.
Problema 4. O navă spațială cu secțiune frontală și o viteză de 10 km / s cade într-un nor de micometeori. Un metru cub de spațiu conține un micrometru. Masa fiecărui micometeor este m = 0,022 g. Cât ar trebui să crească forța de tracțiune, astfel încât viteza navei să nu se schimbe? Impactul micrometrelor asupra pielii navei este considerat inelastic.
Schimbarea forței de împingere în timpul deplasării navei se găsește în cea de-a doua lege a lui Newton
unde este schimbarea momentului micrometrelor care s-au ciocnit cu nava în timpul Dt. Deoarece viteza navei este constantă,
unde D m este masa micrometrelor care s-au ciocnit cu nava în timpul Dt. Dacă - atunci, concentrația micrometeorilor. Apoi, în sfârșit.
Problema 5. Cu ce forță șarpele de masă M și lungimea acționează pe Pământ, ridicându-se vertical în sus cu o viteză constantă?
Cu mișcarea șarpelui, masa șarpelui implicată în mișcare se schimbă cu timpul, astfel încât mișcarea șarpelui trebuie descrisă de ecuația
Două forțe acționează asupra corpului șarpelui: forța gravitației și forța de reacție a suportului (Figura 5):
Proiectați această ecuație pe axa X:
Aici, D p este schimbarea momentului șarpelui în timpul Dt. , D m este masa șarpelui implicată în mișcarea în timp Dt. Valoarea lui D m poate fi determinată prin introducerea masei șarpelui pe unitate de lungime, atunci.
Forța de reacție a suportului care acționează asupra șarpelui va fi egală cu
Această forță, conform celei de-a treia legi a lui Newton, este egală cu mărimea puterii cu care șarpele apasă pe pământ.
Problema 6. O apă care curge cu o viteză v curge printr-o conductă cu o secțiune transversală S curbată într-un unghi drept (figura 6). Care este forța de presiune laterală la punctul de rotunjire al țevii? Densitatea apei r.
Conform celei de-a treia legi a lui Newton, forța cu care presează apa pe conductă la punctul de curbură este egală cu forța cu care țeava presează pe apă. Pentru a determina forța cu care țeava presează împotriva apei, folosim ecuația de bază dinamică
aici este forța de presiune asupra apei din partea peretelui conductei în punctul de curbură, - schimbarea momentului de masă Dm de apă în timpul Dt.
Deoarece viteza la punctul de rotunjire este perpendiculară (Figura 6), atunci
Problema 7. Un schior care în mod liber alunecă din munte în momentul în care a trecut deja drumul împușcă semnalul. Determinați viteza schiorului imediat după fotografiere. Greutatea unui schior cu un lansator de rachete este egală cu panta M. a muntelui a. masa de rachete m. viteza de racheta v. Fricțiunea este neglijată.
La momentul împușcării, schiorul și racheta au avut un impuls (M + m) v 1, îndreptat de-a lungul axei X (Figura 7). În momentul împușcării, puteți folosi legea conservării impulsului. Viteza unui schior înaintea unei lovituri poate fi determinată de legea conservării energiei mecanice (deoarece absența fricțiunii):
Proiecția impulsului de rachetă pe axa X este. Apoi legea conservării impulsului în momentul împușcării este scrisă sub forma:
unde v 2 este viteza schiorului imediat după împușcare. de unde
Problema 8. Prin intermediul unei unități fără greutate, întărită pe tavanul camerei, este aruncat un fir inextensibil, la capetele căruia corpurile suspendate cu mase și (Fig.8) sunt suspendate. Blocurile și masele filetate sunt neglijabil mici, nu există frecare. Găsiți accelerația centrului de masă al acestui sistem.
Conform teoremei centrului mișcării de masă a unui sistem, centrul de mișcări de masă ca o masă egală cu masa corpurilor din sistem sub acțiunea rezultanta forțelor externe, adică centrul ecuației masei de mișcare poate fi scrisă ca
unde - accelerația cu care se deplasează centrul de masă al sistemului și - forțele de întindere ale filamentelor, aplicate primului și celui de-al doilea corp. Deoarece forțele de tensiune sunt necunoscute, scriem ecuația de mișcare pentru fiecare corp
Vom presupune că firul se mișcă în sensul acelor de ceasornic. Proiectăm ecuațiile (4) - (6) pe axa verticală X:
Deci, blocul este fără greutate, iar firul este greu și inextricabil, atunci. Luând în considerare acest lucru, sistemul de ecuații (7) poate fi rescris în următoarea formă:
Am obținut un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute. Rezolvându-l, obținem următoarea expresie pentru accelerarea cu care se mișcă centrul de masă:
Problema 9. Pe masa orizontală se află o foaie de hârtie presată de o bară de masă omogenă M. Capătul superior al acesteia este articulat. Care este forța orizontală minimă pe care trebuie să o atașați la foaie pentru ao scoate? Unghiul dintre miez și foaie este a. coeficientul de frecare între ele m. Frecarea între masă și hârtie este neglijată.
Primul caz. Vom trage foaia spre stânga. Deoarece forța aplicată trebuie să fie minimă, atunci pentru foaie trebuie îndeplinită condiția de echilibru cu privire la mișcarea de translație, adică rezultatul tuturor forțelor care acționează asupra foii trebuie să fie zero. Iar pentru tija trebuie să fie satisfăcută condiția de echilibru în raport cu mișcarea de rotație, adică momentul momentului forțelor raportat la axa de rotație trebuie să fie zero.
Următoarele forțe vor acționa asupra hârtiei și barei (Figura 9): - forța de gravitație care acționează asupra tijei; - forța de frecare din partea laterală a foii la tija; - forța de reacție a suportului din partea laterală a foii la tija; - forța de frecare care acționează asupra foii de pe partea tijei; - Forța exterioară aplicată foii. Forța de presiune care acționează asupra foii din partea barei, gravitatea foii și, de asemenea, forța de reacție care acționează asupra tijei în balama, nu sunt indicate în desen. Condiția de echilibru a unei foi de hârtie este redată după cum urmează:
Pe măsură ce axa de rotație alegem axa care trece prin balamale, atunci starea de echilibru a tijei va fi scrisă după cum urmează:
unde este lungimea tijei.
Prin condiția problemei, foaia este pe punctul de alunecare. Aceasta înseamnă că forța de frecare a odihnei a atins valoarea maximă și, în consecință. Conform celei de-a treia legi a lui Newton. Apoi se obtine urmatorul sistem de ecuatii:
din care forța F va fi egală cu
Cel de-al doilea caz. Foaia poate fi trasă spre dreapta. Apoi direcțiile forțelor se vor schimba la contrariul și vom obține un sistem de ecuații:
Soluția acestui sistem dă următoarea expresie pentru forța F:
Este clar că dacă, atunci numitorul dispare și, dacă atunci, numitorul va fi negativ, iar sistemul de ecuații nu are soluții fizice.
Sarcini pentru munca independentă
1. O minge de masă M se află într-o cutie care alunecă fără frecare dintr-un plan înclinat, al cărui unghi de înclinare la orizont este a. Determinați forțele cu care bilele presează pe peretele frontal și pe partea inferioară a cutiei.
Răspuns: presiunea de pe peretele frontal este absentă, forța de presiune pe partea inferioară a cutiei.
2. O placă de masă M se poate deplasa fără frecare de-a lungul unui plan înclinat cu un unghi de înclinare a. În ce direcție și cu ce accelerație ar trebui o persoană de masă m să meargă pe bord? astfel încât placa să nu alunece planul înclinat?
Răspuns: accelerația este îndreptată în jos.
3. O punte convexă sub forma unui arc de cerc este aruncată peste un râu cu o lățime d = 100 m. Punctul superior al podului se ridică deasupra țărmului până la o înălțime de h = 10 m. Podul poate rezista la forța maximă de presiune F = 44100 H. La ce viteză minimă vehiculul cu masa m = 5000 kg poate trece printr-o astfel de punte?
4. Proiectilul zboară într-un spațiu fără aer de-a lungul unei parabole și este rupt în punctul superior al traiectoriei în două părți egale. O jumătate din proiectil a căzut vertical în jos, al doilea - la o distanță S orizontală de la locul ruperii. Determinați viteza proiectilului înainte de rupere, dacă se știe că explozia a avut loc la o înălțime de N., iar jumătatea inferioară a proiectilului a căzut vertical în timpul t.
5. La un perete vertical neted pe o frânghie de lungime l = 4 cm, o minge de masă m = 300 g este suspendată. Găsiți presiunea mingii pe perete dacă raza sa este R = 2,5 cm.
6. Un conic circular A cu masa m = 3,2 kg și cu un unghi de jumătate de soluție a = 10 ° se rotește uniform, fără a aluneca de-a lungul suprafeței conice circulară B, astfel încât vârful lui O rămâne fix (fig.10). Centrul de masă al conului se află la același nivel cu punctul O și este separat de el cu l = 17 cm. Axa conului se mișcă cu o viteză unghiulară w = 1,0 rad / s. Găsiți forța de frecare care acționează asupra conului A.
7. Vasul sub formă de emisferă cu raza R = 0,8 m se rotește la o viteză unghiulară constantă în jurul axei verticale. Împreună cu castron, o minge se sprijină pe suprafața sa interioară. Distanța dintre bile și fundul cupei este egală cu raza sa. Determinați viteza unghiulară de rotație a bolului.