Ecuația debitului Ricci are forma:
unde g t> denotă o familie de un parametru de metrice riemanniene pe o varietate completă (în funcție de parametrul real, t), și Rc t _> - tensorul lui Ricci.
- În mod formal, sistemul de ecuații R. dat de fluxul Ricci, nu este o ecuație parabolică. Cu toate acestea, există un sistem parabolic al ecuațiilor R '. propusă de Deturk. astfel încât dacă g 0> este o metrică Riemannian pe un distribuitor compact M și g t>. g t '> sunt soluții ale sistemelor R și R'. atunci (M. g t))> este izometric (M. g t ')')> pentru toate t.
- Această construcție a simplificat substanțial dovada existenței soluției, se numește "cascadorie Deturt".
- Similar cu ecuația de căldură (și alte ecuații parabolice), oferind condiții inițiale arbitrare pentru t = 0. se pot obține soluții numai într-o direcție cu privire la t. și anume t ⩾ 0.
- Spre deosebire de soluțiile ecuației de căldură, debitul Ricci, ca regulă, nu merge pe termen nelimitat ca t → ∞. Soluția continuă până la intervalul maxim [0. T). Dacă T este finită, pe măsură ce se apropie aproximația de T, curbura colectorului merge la infinit și în soluție se formează o singularitate. Este vorba despre studiul singularităților, în care curgurile Ricci se odihnesc, că se bazează dovada conjecturii lui Thurston.
- Pseudolocal - în cazul în care o vecinătate a momentului inițial arata aproape ca o bucată dintr-un spațiu euclidian, atunci această proprietate va rămâne o anumită perioadă de timp în fluxul Ricci într-un cartier mai mic.
Schimbarea caracteristicilor geometrice
- Pentru volumul volt _> gt metric> true relație ∂ ∂ t (dvolt) = -. Rt ⋅ (dvolt)> (\ mathrm \, \ mathrm _) = - \ mathrm _ \ cdot (\ mathrm \, \ mathrm _ ).>
- Pentru curbura scalară R t> a metricei g t>, relația ∂ ∂ t R t = △ t R t + | R c t | 2> \ mathrm _ = \ triunghi _ \ mathrm _ + | \ mathrm _ | ^>
- În special, în conformitate cu principiul maxim, debitul Ricci păstrează pozitivitatea curburii scalare.
- În plus, limita inferioară a curburii scalare nu scade.
- Pentru fiecare cadru g0> -oronormal
\ >> la punctul x ∈ M există un așa numit cadru g t> -oronormal concomitent ^ \ >>. Pentru tensorul de curbură R m t>. scrise în această bază, relația ∂ ∂ t R mt = △ t R mt + Q (R m t .R mt) este adevărată. \ mathrm _ = \ triangle _ \ mathrm _ + Q (\ mathrm _, \ mathrm _) >
- Biliniară formă pătratică Q definește un câmp vectorial pe spațiul vectorial al tensori de curbură - fiecare curbură tensor x atribuit un alt tensor curbura Q v x = = Q (x, x)> (x x.). Soluții ODE
- Seturile convexe K în spațiul tensorilor de curbură invarianți în rotații și astfel încât, dacă în ODE redus x (0) ∈ K. atunci x (t) ∈ K pentru t ≥ 0. sunt numite invariante pentru fluxul Ricci. Dacă curbura unei metrici Riemannian pe un distribuitor închis la fiecare punct aparține unui astfel de K. atunci este valabil și pentru valorile obținute de la fluxul Ricci. Argumentele de acest tip sunt numite "principiul maxim" pentru râul Ricci.
- Sunt seturi invariabile
- Tensori de curbură cu curbură scalară pozitivă
- Tensori de curbură cu operator de curbură pozitiv
- În cazul tridimensional, tensiunile de curbură cu curbură Ricci pozitivă
Dimensiunea 3
În cazul în care dimensionalitatea spațiului este 3, pentru fiecare x și t este posibilă selectarea unui cadru
Începutul investigației în cursul râului Ricci a fost pus de Hamilton la începutul anilor 1980. Cu ajutorul fluxurilor Ricci s-au dovedit câteva teoreme netede pe sferă.