3.2.3 Matricea conturului
Matricea conturului C este o tabelă a coeficienților ecuațiilor compilați conform celei de-a doua lege a lui Kirchhoff (ZKN). Rândurile matricei C corespund contururilor, coloanelor la ramuri.
Elementele cij ale matricei C = [cij] sunt definite după cum urmează:
cij = 1 dacă ramura j este cuprinsă în conturul i și direcția ramificației coincide cu direcția de traversare a conturului;
cij = -1 dacă ramura j este cuprinsă în conturul i și direcția ramificației este opusă direcției de traversare a conturului;
cij = 0 dacă ramura j nu este cuprinsă în conturul i.
Matricea C, scrisă pentru contururile principale, se numește matricea contururilor principale. În acest caz, direcția traiectoriei ramurii acestui contur este luată ca direcție de traversare a conturului.
Cea de-a doua lege a lui Kirchhoff pentru stres în formă de matrice este scrisă după cum urmează (ZKN):
Curenții tuturor ramurilor generalizate pot fi exprimate ca combinații liniare de curenți ai ramificațiilor de cuplare generalizate (curenți de contur)
unde IK este matricea coloanelor curenților de buclă.
Dacă primele numere sunt atribuite ramurilor copacului, atunci matricea contururilor principale este formată din două submatricule:
unde F este submatricul matricei secțiunii transversale C, compilat pe baza aceluiași arbore;
1 este submatricea identității ordinului k = p-q + 1.
Astfel, în formă de matrice, pot fi scrise următoarele:
- prima lege a lui Kirchhoff (OCT):
- A doua lege a lui Kirchhoff (ZKN):
3.3 Sistem complet de ecuații de circuite electrice
Legile lui Kirchhoff cu privire la graficul circuitului sau al circuitului electric caracterizează sistemul în ansamblu, fără a lua în considerare caracteristicile elementelor sale. Ecuațiile matricei
Ai = -A # 193; (sau Di = -D # 193;) și Cu = Ce (3.10)
determină un sistem de ecuații separate. Un astfel de sistem nu este suficient pentru descrierea proceselor în circuitele electrice, deoarece nu sunt cunoscute curenți și tensiuni p.
Pentru a suplimenta sistemul de ecuații, este necesar să determinăm (sau să specificăm) chiar și ecuațiile p. Aceste ecuații trebuie să reflecte proprietățile elementelor sistemului - ramurile circuitului electric. Evident, astfel de legături ar trebui să fie scrise pentru ramurile lanțului. În forma matricii scriem aceste ecuații în formă
În funcție de natura funcțiilor fk și jk (k = 1 ... p), sistemul de ecuații de circuite electrice poate fi liniar - pentru circuitele electrice liniare, adică pentru circuitele în care r, L, C și M nu depind de valorile și direcțiile curenților și tensiunilor din circuit, și neliniară pentru circuitele electrice neliniar, adică pentru lanțurile în care r, L, C sau M din cel puțin una din secțiuni depind de valori sau de direcțiile curenților și tensiunilor din această parte a circuitului.
Fiecare ramificație a unui circuit liniar poate conține rezistență, inductanță, capacitate, o sursă ideală de EMF și o sursă de curent ideală (Figura 3.9).
Rezistența curentului în ramură și căderea de tensiune a ramificației U sunt legate de legea lui Ohm.
unde rezistența ramurii. Aceste relații pentru toate ramurile pot fi scrise în formă matricală:
unde Z este matricea diagonală a rezistenței ramurilor;
U, I, J, E sunt, respectiv, vectorii de tensiune și curent ai ramurilor, curenții surselor curente și emf al ramurilor.
Aceasta este forma matrică a legii lui Ohm.
Notă: Matricea Z este diagonală numai în cazul în care curentul ramificației k creează o tensiune pe rezistența ramificației Z, k. În lanțurile cu inducție reciprocă, Z are elemente în afara diagonalei principale Zij = Zji = ± sMij.
Rezistența M a cuplării inductive a ramurilor i-a și j-a. Ele sunt pozitive (negative) dacă orientarea ramurilor i-a și j-a în raport cu clemele cu același nume este aceeași (opusă).
Ecuațiile legii lui Ohm pot fi reprezentate într-o altă formă:
unde Y = Z - 1 este matricea de conductivitate, inversul matricei de rezistență a ramurilor.
Dacă funcția fk și JK sunt derivați de curenți și tensiuni, procesele din acest sistem non-linear circuit electric liniar sau vor fi caracterizate, respectiv, de ecuații diferențiale neliniare sau liniare. În absența derivaților în funcțiile fk jk și procese ale acestui sistem non-linear circuit electric liniar sau vor fi caracterizate, respectiv de ecuații algebrice neliniare sau liniare.
Sistemul de p ecuatiilor 2, ecuația include înregistrate în conformitate cu legea lui Kirchhoff și ecuațiile care descriu relația dintre curenți și tensiuni ale elementelor de circuit, și are un sistem complet de ecuații ale circuitului, sau modelul matematic complet al acestui circuit.
Informații despre lucrarea "Modelarea circuitelor electrice în sistemul Mathcad"