Un concept este o formă de gândire în care obiecte din multe alte obiecte sunt extrase și generalizate pe baza atributelor sau proprietăților esențiale.
Astfel, conceptul de "triunghi" combină setul de toate triunghiurile posibile și proprietatea caracteristică - prezența a trei laturi, trei vârfuri, trei unghiuri.
Volumul este totalitatea tuturor obiectelor la care se referă termenul care denotă conceptul, setul acestor obiecte.
Vom afla ce este un semn esențial al conceptului.
Să ne reamintim noțiunea de paralelogram cunoscut de la cursul școlii. Să încercăm să numim proprietățile inerente ale acestui concept, imaginandu-ne care dintre proprietățile sunt semnificative și care nu sunt.
Proprietățile scrise în coloana din stânga sunt posedate de orice patrulater al planului, în timp ce proprietățile coloanei din dreapta se referă doar la un patrulater paralelogram.
Prin urmare, proprietățile coloanei stângi nu sunt esențiale, dar proprietățile înregistrate în partea dreaptă sunt proprietăți sau atribute esențiale ale paralelogramului.
Aceste proprietăți fac posibil să se știe dacă un quadrangle dat este un paralelogram sau nu.
Proprietățile esențiale sunt acele proprietăți, fiecare dintre acestea fiind necesar, dar toate împreună sunt suficiente pentru a selecta un obiect din mulțimea tuturor obiectelor.
Să luăm în considerare o altă noțiune familiară - "cercul". Un cerc este un set de puncte pe un plan, fiecare dintre ele fiind la o anumită distanță de un anumit punct al acestui plan.
Eliminăm o caracteristică - cerința ca setul de puncte să aparțină avionului.
Scopul conceptului original sa extins, pentru noua definiție a "unui set de puncte, fiecare dintre ele fiind la o anumită distanță de un anumit punct al planului" nu este doar o noțiune de cerc, ci și o "sferă".
Prin urmare, trebuie avut în vedere că pierderea unei trăsături semnificative conduce la o extindere a volumului, iar introducerea unei noi caracteristici implică o restrângere a domeniului de aplicare al conceptului analizat.
Formalismul metodei matematice se bazează pe faptul că în raționamentul matematic al unui concept este permis să se folosească numai în sensul că definiția în ele este inerentă în ele.
Matematicianul polonez G. Steinhaus a remarcat: "Definiția în esență se reduce la faptul că în loc de o anumită combinație de simboluri vechi se folosește un nou simbol ..."
Cu toate acestea, rețineți că în definiție, de regulă, nu sunt indicate toate caracteristicile esențiale ale conceptului, ci doar un anumit set de ele.
Astfel, definiția școlară a paralelogramului poate fi următoarea:
"Un patrulater având două perechi de laturi paralele este numit paralelogram." În această definiție, nu se spune despre egalitatea laturilor opuse, despre împărțirea diagonalelor în jumătate în punctul de intersecție etc.
Mai mult decât atât, paralelajul poate fi definit diferit: "Un patrulater având o pereche de laturi egale și paralele se numește paralelogramă".
Astfel, ajungem la concluzia că, de regulă, nu există doar un singur grup de trăsături esențiale pentru definirea unui concept. Alegerea caracteristicilor esențiale pentru formarea unei definiții din întregul set de caracteristici nu este lipsită de ambiguitate.
Dacă da, atunci cum se poate verifica că definițiile diferite ale aceluiași concept definesc de fapt un concept?
Acest lucru este verificat de domeniul de aplicare al conceptului. Același concept poate fi definit diferit - indicând diferite seturi de caracteristici esențiale, însă domeniul de aplicare al conceptului trebuie să fie același.
Așadar, pentru a defini orice concept este posibil, având specificat semnele sale esențiale.
Luați în considerare tipurile de definiții.
Principala metodă sau tip de definiție este definirea prin cel mai apropiat gen și diferența de specii. Această definiție a fost cunoscută încă din timpul lui Aristotel. Aceasta este așa-numita definiție formal-logică.
Dacă volumul unui concept este inclus ca o parte corectă a scopului unui alt concept, atunci primul concept este numit conceptul de specie, iar al doilea este numit generic.
Astfel, conceptul de "dreptunghi" este o specie în ceea ce privește conceptul de "paralelogram", iar paralelogramul este un concept generic în ceea ce privește conceptul de "dreptunghi".
Deja în școala primară puteți întâlni o altă metodă de definire.
Deci, în exercițiu, poate fi oferită următoarea sarcină: "Marcați punctul. Puneți în acest punct acul busolei și răsuciți busolele trageți o linie. Această linie este un cerc. "Aceasta este o definiție genetică. De la "geneza" latină - originea.
Reamintim că în gradele superioare un cilindru circular drept și un con sunt definite în mod similar.
Această metodă de determinare este aproape de un alt tip - o definiție constructivă.
În această definiție nu sunt indicate proprietățile, ci o descriere directă a structurii obiectului, este dată construcția sa. Astfel, liniile paralele pot fi definite ca două perpendicule pe o linie dreaptă.
Poate o definiție prin abstractizare. Astfel, de exemplu, este definit conceptul unui număr natural într-o interpretare cantitativă sau set-teoretică.
Te-ai întâlnit atât la școală cât și la cursul universitar de matematică cu o definiție - un acord condiționat. Sa convenit că orice număr diferit de zero până la zero este o unitate.
În logica matematică, implicarea predicatelor poate fi definită prin disjuncția negării primului predicat și a celui de-al doilea.
5) O definiție indirectă este o definiție printr-un sistem de axiome. Astfel, conceptele de bază ale geometriei sunt definite: un punct, o linie dreaptă, un plan.
Există multe tipuri diferite de definiții. Puteți împărți toate tipurile de definiții în două grupuri: definiții descriptive și constructive.
Dacă un concept nou este introdus prin descrierea proprietăților sale, acesta este o definiție descriptivă; Folosind descrierea structurii obiectului în sine, aceasta este o definiție constructivă.
Principalele sarcini pe care o persoană le întâlnește în activitatea sa sunt legate de transformarea definițiilor descriptive în cele constructive, cu alte cuvinte, cu construcția de obiecte care posedă anumite proprietăți.
O definiție constructivă este valoroasă prin faptul că oferă o dovadă a existenței unui obiect definabil.
Dar din definiția descriptivă nu rezultă încă existența obiectului corespunzător. După o definiție descriptivă, este de obicei necesară demonstrarea unei teoreme existente.
Vom trece mai mult în detaliu asupra cerințelor pentru definițiile logice formale, deoarece exact acele definiții se întâlnesc cel mai adesea în cursul școlar al geometriei.