ZONA PLAJA SI PARTILE SALE.
26. (262.) Lemma Dacă o dublare nelimitată a numărului de laturi ale unui poligon obișnuit inscripționat, partea sa poate deveni arbitrar mică.
Fie n numărul de laturi al unui poligon obișnuit inscripționat și p perimetrul lui; atunci lungimea unei laturi a acestui poligon este exprimată de fracțiunea p / n. Cu o nelimitată dublarea numărului de laturi ale numitorul acestei fracțiuni va crește în mod evident la infinit, iar numărătorul, t. E. P. deși va crește, dar nu infinită (deoarece perimetrul oricărei convexe inscripționată poligon rămâne întotdeauna mai mică decât perimetrul oricărui poligon circumscris). Dacă, în orice fracțiune, numitorul crește pe termen nelimitat, iar numărătorul rămâne mai puțin decât o anumită valoare constantă, atunci această fracțiune poate deveni arbitrar mică. Prin urmare, același lucru se poate spune despre partea unui poligon inscripționat regulat: cu o dublare nelimitată a numărului de laturi, el poate deveni arbitrar mic.
27. (263.) Consecință. Fie AB (Fig.25) partea unui poligon inscripționat regulat, OA raza și OC apophema. Găsim din /
CS - OS<АС, т. е.
Dar nelimitat dublarea numărului de laturi inscriptionate lateral regulat poligon de ea, așa cum am arătat, ea poate fi făcută în mod arbitrar mici, atunci același lucru se poate spune despre diferența AB - sistem de operare. Astfel, la dublarea nelimitat numărul de laturi ale poligonului raza înscrise corect, iar diferența dintre apotemă poate deveni arbitrar mici. Este posibil să se exprime cu alte cuvinte, după cum urmează: pentru o nelimitată dublarea numărului de laturi inscriptionate limita poligon regulat la care se urmărește apotemă, este raza.
28. (264.) Zona cercului. Să scriem un poligon regulat în cercul a cărui rază vom denumi prin R. lăsa
aria acestui poligon este q,
perimetru »» »p,
apophema »» »a.
Prin formula pentru calcularea ariei unui poligon regulat, avem:
Imaginați-vă acum că numărul laturilor acestui poligon se dublează nelimitat. Apoi, perimetrul p și apofem a (și prin urmare zona q) vor crește, iar perimetrul va tinde la limita luată pentru circumferința C, apophema va tinde la o limită egală cu raza R a cercului. Rezultă că aria poligonului, care crește cu dublarea numărului de laturi, va avea tendința de a atinge o limită egală cu 1/2 C • R. Această limită este luată ca valoare numerică a zonei cercului. Astfel, indicând aria cercului cu litera K, putem scrie:
adică zona cercului este egală cu jumătate din produsul circumferinței printr-o rază.
Deoarece C = 2πR, atunci
K = 1/2 • 2πR • R = πR2,
adică zona cercului este egală cu pătratul razei înmulțit cu raportul dintre lungimea cercului și diametru.
29. (265.) Corolar. Zonele cercurilor se referă la pătrate de raze sau diametre.
Într-adevăr, dacă K și K1 sunt zonele a două cercuri, și R și R1 sunt razele lor, atunci
30. (266.) Problema 1. Calculați aria unui cerc a cărui circumferință este de 2 m.
Pentru aceasta, mai întâi găsim raza R din ecuația:
2πR = 2, unde R = 1 / π = 0,3183.
Apoi definiți zona cercului:
31. (267.) Problema 2. Construiește un pătrat care este egal cu un cerc dat.
Această problemă, cunoscută sub numele de quadrature, nu poate fi rezolvată cu ajutorul unei busole și a unui conducător. Într-adevăr, dacă semnează cu litera x partea laterală a pătratului cerut și litera R cu raza cercului, obținem ecuația:
t. e. x este proporțională medie între semicercul și raza. Prin urmare, în cazul în care segmentul este cunoscut, a cărui lungime este egală cu lungimea unui semicerc, este ușor de a construi un pătrat, izometrică acest interval, și invers, dacă se cunoaște latura de pătrat, a unui cerc echivalent, este posibil să se construiască un segment egal cu lungimea semicercului. Dar, cu ajutorul unui conducător și busola este imposibil de a construi un segment a cărui lungime este egală cu lungimea semicercului; Prin urmare, nu se poate rezolva exact problema de a construi un pătrat de cerc de arie egală. Soluția aproximativă se poate face în cazul în care prima găsi lungimea aproximativă semicercului, iar apoi a construi media proporțională între această lungime segment și raza.
32. (268) Teorema. Aria sectorului este egală cu produsul lungimii arcului său la jumătate din rază.
Lăsați arcul AB (figura 26) din sectorul AOB să conțină nr. Evident, zona sectorului, a cărei arc conține 1 °, este de 1/360 părți din aria cercului, adică este egală cu
. În consecință, sectorul S al sectorului, al cărui arc conține n °, este egal cu:
Deoarece fracțiunea - exprimă lungimea arcului AB (§ 23), atunci, indicând-o prin litera s, obținem:
33. (269.) Zona segmentului. Pentru a găsi zona segmentului delimitat de arcurile și coarda AB, trebuie să calculam separat suprafața sectorului AOBs A și aria triunghiului AOB. Apoi scădea suprafața triunghiului AOB din zona sectorului AOBs A, dacă arcul segmentului este mai mic de 180 °. Dacă arcul segmentului este mai mare de 180 °, atunci aria sectorului AOBs A trebuie adăugată în zona triunghiului AOB (figurile 26 și 27).
Tehnologia UCoz este utilizată