Curs 4. Supragravitate
Ne putem aștepta ca în teoria gauge supersimetric supersimetriei curenților sunt sursele de domenii: energie-impuls tensorul - o sursă de curent gravitoni, de spin-vector - sursa de spin 3/2 particule. În consecință, formularea supergravității va necesita cel puțin un câmp de spin 2 și un câmp de spin de 3/2; o astfel de teorie poate fi într-adevăr construită. O vom dezvolta cu ajutorul metodelor generale de geometrie diferențială.
tetrad generalizat introdus ca variabilă independentă, precum și conexiunea forma Obiectivul nostru principal este de a găsi ecuațiile de covarianță care minimizează numărul de componente independente ale câmpurilor la o singură rotire și un câmp de 2 - 3/2 de spin. În ceea ce privește transformările generale de coordonate
E și Φ se transformă după cum urmează;
Acum este necesar să alegem un grup structural, sub acțiunea căruia se transformă forma tetradică și forma de conectivitate după cum urmează:
Știm că este nevoie de valori în algebra Lie. Pentru a reduce, pe cât posibil, numărul de domenii independente, noi
alegem cel mai mic grup structural posibil - grupul Lorentz însuși. Parametrii de transformare sunt funcții arbitrare ale lui. Cu această alegere, matricea conține doar 6 suprafețe independente. Prima și a doua ecuație structurală determină torsiunea și curbura:
Forma de curbură, de asemenea, ia valori în algebra Lie. Mai exact, aceste ecuații sunt scrise în formă
Pentru a ne imagina cumva natura ecuațiilor pe care le căutăm, calculați torsiunea pentru un spațiu plat: Avem
Toate celelalte componente ale torsiunii sunt zero. Se poate încerca postularea acestor ecuații și pentru cazul general:
componentele rămase sunt zero. Pentru alegerea grupului de structură aceste ecuații sunt covariante. Cu toate acestea, putem demonstra că au o soluție unică - un spațiu plat. Prin urmare, este necesar să ne slăbim ecuațiile. Linearizarea ecuațiilor câmpului prin substituire
și, evident, rezolvarea acestora, se poate demonstra că din ecuații
doar relațiile algebrice urmează. Aceasta reduce numărul de câmpuri independente dinamice exact la un câmp de rotire 2 și unul la rotire 3/2. Dar ecuațiile complete, non-linearizate pot fi rezolvate. Puteți argumenta așa. Noi alegem
Un ecart special în care tetradul și conectivitatea ia forma
determină dinamica în x-spațiu.
Observăm că componentele de torsiune nu au fost încă determinate. Egalitatea la zero ar însemna că avem de-a face cu un spațiu plat. lăsa
- torsiune cu indicatori mondiali Din ecuațiile noastre este posibil să se obțină
Vedem asta în calibrarea noastră specială
Aceasta conectează torsiunea în spațiul 4 cu densitatea de rotație a câmpului Rarita-Schwinger. Data viitoare
unde este necesar să se exprime prin tetrad și conectivitate în virtutea primei ecuații structurale:
Componenta de interes este
deoarece ia valori în algebra Lie. În calibrarea pe care am ales-o, obținem
Aici a apărut un derivat covariantic obișnuit al spațiului. Calculele suplimentare necesită identitatea lui Bianchi
În detaliu, ele pot fi scrise în următoarea formă:
unde derivatul covariantic, de exemplu
Nu intenționez să scriu toate componentele acestor identități - este posibil să nu le mulțumim editorilor. Voi da doar pe cele care mi-ar fi de folos în această prelegere. Am pus componentele de torsiune corespunzătoare egale cu zero, obținem
deoarece are valori în algebra Lie, iar grupul nostru Lie este un grup Lorentz. Pentru această ecuație în ecartul ales de noi e ecuația lui Rarita-Schwinger. De fapt, cu
Aceasta este ecuația lui Rarita-Schwinger. Pentru a deriva ecuațiile lui Einstein, avem nevoie de următoarele relații:
Relația rezultă din identitatea (2); rezultă din următoarele și din (3). Rămâne să demonstrăm Din (6) vedem că antisimetric în și y, prin urmare
De aici urmează în acest fel,
Din (6) și proprietatea (algebra Lie) rezultă că
Trebuie să deducem din aceasta.Am folosit din nou faptul că are nevoie de valori în algebra Lie:
și din
Din acest și din (7) obținem
Din această relație, proprietățile și (7) rezultă din aceasta
unde este complet simetric. Aceasta, la rândul său, înseamnă asta
Acum arătăm cum se obține ecuația Einstein din relații. Avem
Din ecuația structurii găsim
Prin urmare, când ajungem
Este tensorul obișnuit al curburii spațiului. Pe de altă parte,
deoarece de la următoarea Când folosim, de asemenea, obținem
Acum folosim matricea inversă la tetrad și relațiile în notația evidentă a spațiului
obținem ecuația lui Einstein
Amintiți-vă că am obținut egalitate
Astfel, avem ecuațiile dinamice ale supergravitatie, adică ecuația lui Einstein, ecuația Raritate - .. Schwinger și legătura dintre torsiune și densitatea de spin sub forma, pentru prima dată și a primit Deser Zumino în articolul lor pe
supergravitatie. Am obținut acest rezultat folosind doar geometria superspace.
Vreau să-i mulțumesc lui Richard Grimm pentru discuții utile și pentru citirea manuscrisului.