FUNCȚII TRIGONOMETRICE # 150; una dintre clasele de funcții elementare.
Funcția y = cos x. Dacă vom construi un cerc unitate centrată la origine, și a stabilit o valoare arbitrară a argumentului, și numărul de x0 Ox unghi axa x0, atunci acest unghi pe cercul unitate corespunde unui punct A (fig. 1) și proiecția acestuia pe axa x este un punct M. Lungimea segmentului OM este egală cu valoarea absolută a punctului abscisa A. dat x0 valoare este mapat valoare funcție argument y = cos x0 ca punctul abscisă A. În consecință, punctul B (x0; y0) aparține graficului funcției y = cos x (Figura 2). Dacă punctul A este în partea dreaptă a axei Oy, cosinusul va fi pozitiv, dacă este în stânga # 150; este negativă. Dar, în orice caz, punctul A nu poate părăsi cercul. Prin urmare, cosinul se află în intervalul de la # 150; 1 până la 1:
Rotire suplimentară la orice unghi, multiplu de 2 p. returnează punctul A în același loc. Prin urmare, funcția y = cos x este periodică, perioada sa este de 2 p.
Dacă luăm două valori ale argumentului, egale în valoare absolută, dar opuse în semn, x și # 150; x, găsiți punctele corespunzătoare Ax și A -x pe cerc. Așa cum se poate vedea în fig. 3 proiecția lor pe axa Ox este același punct M. prin urmare
Prin urmare, se poate investiga proprietățile funcției y = cos x pe [0, p] și apoi se ia în considerare paritatea și periodicitatea acesteia.
Când x = 0, punctul A se află pe axa Ox și abscisa sale egală cu 1, și, prin urmare, cos 0 = 1. Cu creșterea x punctul A se muta circumferențial în sus și spre stânga, proiecția sa, desigur, numai stânga, și când x = p / 2 cosinusul devine 0. Punctul A în acest moment se ridică la înălțimea maximă și apoi continuă să se deplaseze spre stânga, dar deja descendent. Abcesul lui scade până când ajunge la cea mai mică valoare egală cu # 150; 1 pentru x = p. Astfel, pe intervalul [0, p], funcția y = cos x scade monotonic de la 1 la # 150; 1 (Figura 4, 5).
Rezultă din paritatea cosinusului că în intervalul [# 150; p. 0] funcția crește în mod monotonic de la # 150; 1 la 1, presupunând o valoare zero la x = # 150; p / 2. Dacă luăm mai multe perioade, obținem o curbă ondulată (figura 6).
Astfel, funcția y = cos x presupune valori zero la punctele x = p / 2 + k p, unde k # 150; orice număr întreg. Maximele egale cu 1 sunt atinse la punctele x = 2k p. și anume în pași de 2 p. și minimul este egal cu # 150; 1, la punctele x = p + 2k p.
Funcția y = sin x. Pe cercul unic, punctul x0 corespunde punctului A (Figura 7), iar proiecția sa pe axa Oy este punctul N. Valoarea funcției y 0 = sin x0 este definită ca ordonarea punctului A. Punctul B (unghiul x0, y0) aparține graficului funcției y = sin x (figura 8). Este clar că funcția y = sin x este periodică, perioada este de 2 p.
Pentru două valori ale argumentului, x și # 150; , proiecțiile punctelor corespunzătoare Ax și A -x pe axa Oy sunt simetric față de punctul O. Prin urmare,
și anume sinus # 150; funcția este ciudată, f (# 150; x) = # 150; f (x) (figura 9).
Dacă punctul rândul său, un raport cu punctul O la p / 2, unghiul invers acelor de ceasornic (cu alte cuvinte, în cazul în care unghiul X pentru a crește cu p / 2), apoi ordonata sa în noua poziție este egal cu abscisa vechi. Acest lucru înseamnă că
În caz contrar, sinele # 150; aceasta este cosinusul care este "întârziat" pentru p / 2, deoarece orice valoare cosinusă este "repetată" în sine atunci când argumentul crește cu p / 2. Și pentru a compune curba sinusoidală, este suficient să mutați graficul cosinus cu p / 2 spre dreapta (Figura 10). O proprietate extrem de importantă a sinusului este exprimată de egalitate
Semnificația geometrică a egalității este văzută în fig. 11. Aici x # 150; aceasta este jumătate din arcul AB, și păcatul x # 150; jumătate din coarda corespunzătoare. Evident, pe măsură ce punctele A și B se apropie reciproc, lungimea coardei se apropie mai mult de lungimea arcului. Din aceeași figură, este ușor să se deducă inegalitatea
Formula (*) a matematicii este numită o limită remarcabilă. Din aceasta, în special, rezultă că păcatul xx pentru micul x.
Funcțiile y = tan x, y = ctg x. Două alte funcții trigonometrice # 150; tangent și cotangent este cel mai simplu definit ca relația sinusului și cosinusului deja cunoscut:
Ca sinus și cosinus, tangent și cotangent # 150; funcțiile sunt periodice, dar perioadele lor sunt egale cu p. și anume ele sunt jumătate din dimensiunea sinusului și cosinusului. Motivul pentru acest lucru este clar: dacă sinele și cosinusul schimbă semnele, atunci raportul lor nu se va schimba.
Deoarece există un cosinus în numitorul tangent, tangenta nu este definită în acele puncte în care cosinusul este 0, # 150; când x = p / 2 + k p. În toate celelalte puncte, crește în mod monoton. Liniile drepte x = p / 2 + k p pentru tangenta sunt asimptote verticale. În punctele k p, tangenta și panta sunt 0 și respectiv 1 (Figura 1 2).
Cotangent nu este definit în cazul în care sinusul este 0 (atunci când x = k p). În alte puncte, scade monotonic, iar liniile drepte x = k p # 150; asimptotele sale verticale. La punctele x = p / 2 + k p, cotangenta devine 0, iar coeficientul unghiular la aceste puncte este # 150; 1 (figura 13).
Paritate și periodicitate. Se numește o funcție chiar dacă f (# 150; x) = f (x). Funcțiile cosine și secante # 150; chiar, dar sinus, tangent, cotangent și cosecant # 150; funcțiile sunt ciudate:
păcatul (- # 945;) = - păcatul # 945;
tg (- # 945;) = - tg # 945;
Formulele de reducere. Conform acestor formule, valoarea funcției trigonometrice a argumentului a. unde p / 2 2 a # 150; sin 2 a = 2 cos 2 a # 150; 1 = 1 # 150; 2 sin 2 a;
sin 3 a = 3 sin a # 150; 4 sin 3 a;
cos 3 a = 4 cos 3 a # 150; 3 cos a;
Formula pentru cos 3 a fost folosită de François Wiet pentru a rezolva ecuația cubică. De asemenea, el a găsit mai întâi expresii pentru cosn și păcat. care au fost obținute ulterior într-un mod mai simplu de formula Moivre.
Dacă formulele argumentului dublu înlocuiesc a cu a / 2, ele pot fi transformate în formule cu jumătate de unghi:
Formule de substituție universale. Folosind această formulă, o expresie care implică diferite funcții trigonometrice ale unuia și același argument poate fi scris ca o expresie rațională dintr-o funcție tg (a / 2), poate fi util în rezolvarea unor ecuații:
Formule pentru conversia sumelor în produse și produse în sume. Înainte de apariția calculatoarelor, aceste formule au fost folosite pentru a simplifica calculele. Calculele au fost efectuate folosind tabelele logaritmice și mai târziu # 150; Logaritmic conducător, pentru că Logaritmii sunt cei mai potriviți pentru multiplicarea numerelor, astfel încât toate expresiile inițiale conduc la o formă convenabilă pentru logaritm, adică la lucrări, de exemplu:
2 sin sin a b = cos (a # 150; b) # 150; cos (a + b);
2 cos cos b = cos (a # 150; b) + cos (a + b);
2 sin a cos b = păcat (a # 150; b) + păcat (a + b).
Formulele pentru funcțiile tangente și cotangente pot fi obținute din cele de mai sus.
Formule de reducere a gradului. Din formulele unui argument multiplu, se deduc următoarele formule:
sin 2 a = (1 - cos 2 a) / 2;
cos 2 a = (1 + cos 2a) / 2;
Fiecare funcție trigonometrică în fiecare punct al domeniului său de definiție este continuă și infinit de diferențiată. Mai mult, derivații funcțiilor trigonometrice sunt funcții trigonometrice, iar în integrare, funcțiile trigonometrice sau logaritmii lor sunt de asemenea obținute. Integalele combinațiilor raționale de funcții trigonometrice sunt întotdeauna funcții elementare.
Reprezentarea funcțiilor trigonometrice sub formă de serii de putere și produse infinite. Toate funcțiile trigonometrice admit o serie de extindere a puterii. În acest caz, funcțiile sin x b cos x sunt reprezentate de serie. convergând pentru toate valorile x.
Aceste serii pot fi folosite pentru a obține expresii aproximative pentru păcat x și cos x pentru valori mici de x.
cu | x | iz este exprimată în termeni de cos z și păcat z prin formula:
Aceste formule sunt numite formule Euler. Leonard Euler le-a dedus în 1743.
Funcțiile trigonometrice pot fi exprimate și în funcție de funcțiile hiperbolice:
z = # 150; i sh iz. cos z = ch iz, z = # 150; i th iz.
unde sh, ch și th # 150; Hyperbolic sinus, cosinus și tangent.
Funcțiile trigonometrice ale argumentului complex z = x + iy. unde x și y # 150; numerele reale, pot fi exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice și hiperbolice ale argumentelor reale, de exemplu:
Sinusul și cosinusul unui argument complex pot lua valori reale care depășesc 1 valoare absolută. De exemplu:
Dacă un unghi necunoscut intră în ecuație ca argument al funcțiilor trigonometrice, atunci ecuația se numește trigonometric. Astfel de ecuații sunt atât de frecvente încât metodele de rezolvare a acestora sunt foarte detaliate și dezvoltate cu atenție. Folosind diferite tehnici și formule, ecuațiile trigonometrice reduc la ecuațiile formulei f (x) = a. unde f # 150; oricare dintre cele mai simple funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangent sau cotangent. Atunci argumentul x al acestei funcții este exprimat prin valoarea sa cunoscută a.
Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, la fel ca și dintr-o serie de valori corespunde unui număr infinit de valori ale argumentului, iar soluția ecuației nu poate fi scrisă ca funcție a unui. Prin urmare, în determinarea fiecare dintre principalele funcții ale regiunii izolate trigonometrice în care primește toate valorile sale, fiecare dată, și pentru a găsi funcția inversă l la acest site. Aceste funcții sunt notate prin atribuirea de arc prefix (arc) la numele funcției originale, și se numesc functii trigonometrice inverse sau doar arkfunktsiyami.
Funcții trigonometrice inverse. Pentru sin x, cos x, tan x și ctg x, putem defini funcții inverse. Acestea sunt notate arcsin x (citiți "arcsine x"), arcos x. arctg x și arcctg x. Prin definiție, arcsin x este un număr y astfel încât
Similar pentru alte funcții trigonometrice inverse. Dar această definiție suferă unele inexactități.
Dacă reflectă sin x, cos x, tg ctg x și x în raport cu bisectoarea primul și al treilea cadrane ale planului de coordonate, apoi sunt amestecate funcțiile datorită periodicitatea lor, aceeași sinus (cosinus, tangenta, cotangentă) corespunde unui număr infinit de unghiuri.
Pentru a scăpa de ambiguitate, o secțiune a curbei de lățime p este selectată din graficul fiecărei funcții trigonometrice. este necesară o corespondență unu-la-unu între argumentul și valoarea funcției. Sunt selectate zonele de lângă origine. Pentru sinus, ca "intervalul de la unu la unu", intervalul [# 150; p / 2, p / 2], pe care sinusul crește din punct de vedere monotonic # 150; 1 la 1, pentru cosinus # 150; intervalul [0, p], pentru tangente și, respectiv, cotangente, intervalele (# 150; p / 2, p / 2) și (0, p). Fiecare curbă din interval este reflectată relativ la bisector și acum este posibil să se determine funcțiile trigonometrice inverse. De exemplu, să presupunem că valoarea argumentului x0 este dată astfel încât 0 Ј x0 Ј 1. Atunci valoarea funcției y0 = arcsin x0 este valoarea unică y0 astfel încât # 150; p / 2 Ј y0 Ј p / 2 și x0 = sin y0.
Astfel, sinele invers # 150; este funcția arc sin a, definită pe intervalul [# 150; 1, 1] și egală cu fiecare a pentru un astfel de, # 150; p / 2 n arcsin a + 2 p n.
unde n = 0, ± 1, ± 2.
Sunt rezolvate și alte ecuații trigonometrice simple:
unde n = 0, ± 1, ± 2 (figura 16);