Din punct de vedere istoric, conceptul de geometrie proiectivă a apărut din considerente practice, și anume, când au fost reprezentate figuri spațiale pe plan.
Lăsați ochiul observatorului să se afle într-un punct. Pentru a obține o imagine a figurii în avion. care produce aceeași impresie ca și figura însăși, este necesar să se traseze o linie dreaptă prin fiecare punct al figurii și să se găsească punctul de intersecție al acestei linii drepte cu planul. Un punct este numit proiecția centrală a unui punct pe un avion din centru.
Luând în centrul de proiectare diferite puncte și schimbând poziția planului. vom primi diferite proiecții ale cifrei.
De exemplu, planul să se intersecteze cu planul și să fie linia de intersecție a planului cu planul care trece prin centrul de proiectare și paralel cu planul. Apoi, în funcție de locația din plan în raport cu linia dreaptă. Proiecția de la centru la avion poate fi:
- pentru un segment - un segment, o rază, două raze;
- pentru o rază - o rază sau două raze;
- pentru un cerc - o elipsă, o parabolă sau o hiperbolă.
Astfel, multe proprietăți ale formelor nu sunt salvate în designul central.
Ce proprietăți ale cifrelor vor fi păstrate în designul central? Sarcina de a studia astfel de proprietăți, atrăgând atenția multor geometre, a dus la dezvoltarea geometriei proiective.
Să analizăm cazul proiecției centrale a unui avion pe un avion dintr-un punct. care nu aparțineau acestor avioane. Această proiecție nu este o cartografiere. deoarece pentru un punct astfel încât nu există nici o imagine; astfel de puncte pe A formează o linie dreaptă. unde și.
De asemenea, nu toate punctele din avion vor servi drept imagini; astfel de puncte formează o linie dreaptă. unde și.
Pentru fiecare punct al unui plan drept în plan, familia de linii de linii paralele este determinată în mod unic.
În mod similar, pentru fiecare punct pe linie dreaptă, familia de linii de linii paralele este determinată în mod unic.
Pentru fiecare familie de planuri paralele drepte și atașați niște obiecte, pe care noi le numim puncte necorespunzătoare și denotăm.
Seturile sunt numite avioane extinse. și fiecare linie dreaptă cu un punct necorespunzător atașat la ea este o linie dreaptă extinsă.
Pe planul extins:
1. Orice două linii extinse se intersectează.
2. Fiecare linie intersectează setul de puncte necorespunzătoare într-un singur punct. Prin urmare, este natural să numiți o linie necorespunzătoare.
3. O singură linie dreaptă trece prin două puncte ale planului extins.
Conceptul unui plan extins poate fi generalizat în cazul spațiului. Toate paralele unul cu celălalt sunt unite printr-un punct comun necorespunzător. Avem spațiul extins.
Setul de puncte necorespunzătoare conectate la linii paralele cu un anumit plan este numit o linie necorespunzătoare. care este comună tuturor planelor paralele cu avionul.
Setul de puncte necorespunzătoare dintr-un spațiu extins se numește un plan necorespunzător.
Luați în considerare corespondența dintre avioanele extinse și conform legii:
1. Punctul propriu. care nu aparține unei linii drepte corespunde unui punct.
2. Punctul propriu. aparținând unei linii drepte corespunde unui punct. conectat la o familie de planuri drepte. paralele drepte.
3. Un punct nepotrivit. conectat la o familie de linii paralele care nu conține o linie dreaptă. punct corespondent. astfel încât să fie paralel cu familiile directe la care este atașat punctul.
4. Un punct nepotrivit. conectat la o familie de linii drepte paralele cu linia dreaptă, corespunde unui punct necorespunzător conectat la o familie de linii paralele cu linia dreaptă.
Această corespondență este o bijecție și se numește harta de perspectivă a planului extins la planul extins. Restricția acestei mapări la setul de puncte ale planului drept extins poate fi numită în mod natural extinderea în perspectivă a liniei drepte extinse la linia dreaptă extinsă.
Din punct de vedere istoric, spațiul extins a fost numit spațiul proiectiv. Planul extins este planul proiectiv. Linia dreaptă extinsă este linia proiectivă.
Proprietățile formei care sunt păstrate pentru toate mapările de perspectivă sunt proprietăți proiective.
Proiectarea geometrică studiază proprietățile proiective ale figurilor unui spațiu proiectiv.
Cu cartografiere perspectivă, punctele necorespunzătoare pot fi cartografiate în propriile lor și invers, linia necorespunzătoare poate fi mapată într-o linie dreaptă extinsă și invers. Astfel, un punct necorespunzător, o linie necorespunzătoare, nu sunt concepte proiective, prin urmare, din punct de vedere al geometriei proiective, toate punctele din spațiul proiectiv sunt egale, la fel liniile drepte și planurile.