Armonice sferice, wiki morfey13, fandom alimentat de wikia

Armonicile sferice sunt, de asemenea, funcțiile proprii ale operatorilor:

, .

Substituim în aceste ecuații expresii explicite pentru operatorii în coordonate sferice:

Rezolvăm acest sistem de ecuații diferențiale prin metoda de separare a variabilelor:

Din a doua ecuație obținem

Când unghiul este schimbat, revenim la punctul de pornire al spațiului. Deoarece funcția de undă trebuie să fie unică,

.

în prima ecuație a sistemului și reducând, obținem o ecuație pentru:

.

Să înlocuim variabila:

, .

,

iar ecuația devine

.

Din teoria ecuațiilor fizicii matematice rezultă că nu există divergențe dacă și numai dacă

,

în cazul în care. Adică, pentru orice obținem ecuația

în cazul în care. În acest caz, este o funcție fără singularități pentru. Deoarece ecuația conține, funcțiile u diferă numai printr-un factor constant.

Să luăm în considerare două cazuri

.

Apoi, soluția este polinomul Legendre de grad. Forma sa explicită este dată de formula Rodrigue:

b). Apoi este polinomul Legendre adjoint. Pentru el avem:

.

Polinoamele Legendre posedă proprietatea ortogonalității:

.

Astfel armonicile sferice au forma (pentru nonnegative):

.

Constantele se găsesc din condiția de normalizare

.

Se poate demonstra acest lucru

.

Armonicile sferice cu cele negative sunt, prin definiție, luate egale cu

Armonicile sferice formează o bază ortonormală completă asupra sferei.

Utilizarea extensiei AdBlock a fost detectată.

Articole similare