1. Integresele eigen în funcție de parametrul [2.5]
Să presupunem că într-un dreptunghi este definită o funcție care poate fi integrată pe segment pentru orice funcție fixă. În acest caz, este definită o funcție, numită integral, în funcție de parametru.
Teoremă 1. Dacă este continuă într-un dreptunghi, atunci funcția:
1) este continuă pe un segment;
2) este integrat pe un segment și egalitate
41) Luați în considerare creșterea. Pentru a dovedi continuitatea funcției, este necesar să se demonstreze că pentru. Deoarece funcția este continuă pe un set închis, teorema lui Cantor este uniform continuă pe ea. Prin urmare,
Din aceasta, prin teorema valorii medii, obținem asta.
2) Deoarece funcția este continuă pe un segment, ea poate fi integrată pe acest segment; există un integrat dublu. În consecință, integralele repetate (care apar în relație) sunt egale, ceea ce dovedește validitatea formulei 3
Teorema 2. Dacă funcția și derivata sa parțială sunt continue în dreptunghi, atunci funcția este diferențiabilă în mod continuu pe segmentul și derivatul său poate fi calculată prin regula Leibniz.
4 Să luăm în considerare funcția auxiliară. Deoarece este continuă într-un dreptunghi, teorema precedentă este continuă și funcția integrală a funcției poate fi găsită din formula.
În consecință ,. Derivatul unui integral cu o limită superioară variabilă a unei funcții continue există și este egal cu valoarea acestei funcții într-un punct, prin urmare
Cazul general. Dacă pentru orice segment fix al segmentului funcția este integrată în segment, atunci pe segmentul funcției
care este un integral care depinde de un parametru ale cărui limite de integrare depind, de asemenea, de parametru.
Teorema 3. Fie funcția continuă pe un dreptunghi și permiteți funcțiilor u să fie continue pe un segment. Apoi funcția este continuă pe segment.
4 Să fie fixat. Imaginați-vă în forma următoare
Deoarece este un integral în funcție de parametru, cu limite constante de integrare și cu o integrare continuă, de Teorema 1, acest integral este o funcție continuă și, prin urmare, tinde să.
Pentru integrale, următoarele estimări sunt adevărate (teorema valorii medii):
în cazul în care. Deoarece funcțiile sunt continue pe intervalul, atunci când, și așa integralele sunt, de asemenea, tind să 0. Astfel, limita de pe partea dreaptă și atunci când există. În consecință, funcția este continuă în orice punct al segmentului .3
Corolar. Dacă, atunci,
Teorema 4. Fie funcția și derivatul ei continuu într-un dreptunghi. Să presupunem că funcțiile u sunt diferențiate pe un segment. Apoi funcția este diferențiată pe segment, și
4 Să fie fixat. Imaginați-vă în formă.
Este un integral în funcție de un parametru cu limite constante de integrare și cu o integrare continuă, prin urmare, de Teorema 2, funcția este diferențiată pe segmentul u.
Prin definiție, se obține derivatul pentru funcție.
Prin formula de valoare medie. Din continuitatea funcției rezultă că; și din diferențiabilitatea funcției rezultă că. prin urmare
În mod similar, dovedim asta. Deoarece un punct arbitrar al segmentului, se poate afirma că funcția este diferențiată pe segment și derivatul său poate fi calculat din formula .3
2. Integralități necorespunzătoare ale funcțiilor limitate,
în funcție de parametru
Să presupunem că într-o jumătate de bandă este dată o funcție care poate fi integrată în sensul necorespunzător pe jumătate de linie pentru orice segment fix. În aceste condiții, se definește o funcție pe segment, numită integrare necorespunzătoare a primului tip, în funcție de parametru. Se spune că integrala converge pe un segment.
integrant necorespunzătoare se spune să conveargă în mod uniform la un parametru din segment, în cazul în care converge pe segmentul și dacă există, depinde numai de faptul că și inegalitatea.
2.1. Semne de convergență
Teorema 5 (criteriul Cauchy). Pentru ca un integrator necorespunzător să fie convergent uniform într-un parametru pe un segment, este necesar și suficient să putem specifica un număr în funcție numai de u și astfel încât u:
Corolar. Integrul necorespunzător converge uniform pe un segment dacă
Teorema 6 (test Weierstrass). Să presupunem că o funcție este definită într-o jumătate de bandă și pentru fiecare dintre segmente este integrată în raport cu orice segment. Să presupunem că pentru toate punctele de pe jumătate de bandă inegalitatea deține, adică, este limitat uniform pe. Apoi, convergența integratului implică convergența uniformă a lui n0 pe segmentul integral.
Deci, atunci. Din convergență rezultă (prin criteriul Cauchy) convergența uniformă a integrala .3
Corolar. Să presupunem că o funcție definită într-o jumătate de bandă este limitată în această jumătate de bandă și este integrată pentru fiecare segment pe fiecare segment. Apoi, dacă convergurile integrale, atunci integrale converge uniform pe segment.
Teorema 7. (Semnele lui Dirichlet și Abel).