În această lecție vom lua în considerare integralele funcțiilor trigonometrice, adică umplerea integralelor, vom avea sines, cosines, tangente și cotangente în diferite combinații. Toate exemplele vor fi dezasamblate în detaliu, accesibile și ușor de înțeles chiar și pentru ceainic.
Pentru a studia cu succes integralele funcțiilor trigonometrice, trebuie să fiți bine orientați în cele mai simple integrale și să aveți și câteva metode de integrare. Puteți să vă familiarizați cu aceste materiale la prelegeri. Exemple de soluții și metoda de modificare a unei variabile într-un integru indefinit.
Și acum avem nevoie de: Tabelul integralelor. Tabelul derivatelor și Manualul formulelor trigonometrice. Toate manualele metodice pot fi găsite pe pagina Formule și tabele matematice. Vă recomand să imprimați totul. Mă concentrez mai ales asupra formulelor trigonometrice, ele ar trebui să fie înaintea ochilor mei - fără aceasta, eficiența lucrării va scădea considerabil.
Dar mai întâi de toate, care sunt integralele din acest articol. Aici nu există integrale de formă, cosinus, sinus, înmulțită cu un anumit polinom (mai puțin adesea orice cu tangenta sau cotangenta). Astfel de integrale sunt integrate în părți, iar pentru a studia metoda, vizitați lecția de integrare prin părți. Exemple de soluții De asemenea, nu există integrale cu "arce" - arctangent, arcsine etc., ele sunt adesea integrate în părți.
Atunci când găsim integrale ale funcțiilor trigonometrice, se utilizează un număr de metode:
Utilizarea formulelor trigonometrice
Reducerea gradului de integrare (cazul special 1)
Metodă de modificare a unei variabile
Înlocuirea trigonometrică universală (cazul special 3)
În cadrul lecției, voi încerca să dezasamblez în detaliu toate metodele listate și să dau exemple de soluții de integrale de tip. Trebuie remarcat faptul că această divizare în funcție de paragraf este foarte condiționată, deoarece foarte des regulile de mai sus sunt utilizate simultan.
Utilizarea formulelor trigonometrice
Găsiți integritatea nedeterminată.
(1) Vedem că în integrand există un produs de două funcții. Din păcate, în calculul integrat nu există o formulă convenabilă pentru integrarea produsului: prin urmare, trebuie să recurgeți la diverse trucuri. În acest caz, întrerupem soluția cu o insignă și explicăm că se folosește formula trigonometrică. Această formulă transformă produsul într-o sumă.
(2) Folosim proprietatile de linearitate ale unui integrala indefinita - integralul sumei este egal cu suma integrelor; Constanta poate (și trebuie) să fie luată în afara semnului integral.
!Referință: Când lucrați cu funcții trigonometrice, rețineți că:
Cosinul este o funcție uniformă, adică minusul dispare fără consecințe. În acest exemplu:
Funcția sinusoidală este ciudată: aici minusul, dimpotrivă, nu dispare, ci este scos.
(3) Prin integrale avem funcții complexe (cosine nu numai din, ci dintr-un argument complex). Acestea sunt cele mai simple dintre funcțiile complexe, este mai convenabil să le găsim integralele prin metoda aplicării semnului diferențialului. Mai multe detalii despre această tehnică pot fi găsite la lecție Metoda de schimbare a unei variabile într-un integral nedefinit.
(4) Folosim formula de masă, singura diferență, în loc de "X" avem o expresie complexă.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Acesta este un exemplu pentru auto-decizie, o soluție completă, iar răspunsul este la sfârșitul lecției.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Clasic al genului pentru cei care se îneacă în clasament. Așa cum probabil ați observat, nu există nici o parte integrantă a tangentei și cotangentei în masa integrală, dar totuși se pot găsi astfel de integrale.
(1) Folosim formula trigonometrică
(2) Dăm funcția sub semnul diferențialului.
(3) Utilizăm tabelul integral.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Acesta este un exemplu pentru auto-decizie, o soluție completă, iar răspunsul este la sfârșitul lecției.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Gradul va crește treptat =).
Prima soluție:
(1) Folosim formula
(2) Folosim identitatea trigonometrică de bază, din care rezultă.
(3) Termenul numitorului este numit de numitor.
(4) Folosim proprietatea de liniaritate a integrala indefinita.
(5) Ne integrăm cu ajutorul unei mese.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Acesta este un exemplu pentru auto-decizie, o soluție completă, iar răspunsul este la sfârșitul lecției.
Există, de asemenea, integrale de tangente și cotangente care sunt în grade mai mari. Integralul tangentei în cub este considerat în lecție Cum se calculează suprafața unei figuri plane? Integralele de la tangenta (cotangenta) la gradul al patrulea si al cincilea pot fi obtinute pe pagina Integrale complexe.
Reducerea gradului de integrare
Această tehnică funcționează atunci când funcțiile integrare sunt umplute cu sines și cosine în grade uniforme. Pentru a reduce gradul, utilizați formulele trigonometrice și, ultima formulă fiind folosită mai des în direcția opusă :.
Găsiți integritatea nedeterminată.
În principiu, nu este nimic nou aici, cu excepția faptului că am aplicat formula (scăderea gradului funcției integrand). Rețineți că am scurtat soluția. Odată cu acumularea de experiență, integralul poate fi găsit verbal, economisește timp și este complet acceptabil în cazul finalizării sarcinilor. În acest caz, este recomandabil să nu pictați regula, mai întâi să luați verbal integral 1, apoi - de la.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Acesta este un exemplu pentru auto-decizie, o soluție completă, iar răspunsul este la sfârșitul lecției.
Aceasta este îmbunătățirea promisă a gradului:
Găsiți integritatea nedeterminată.
(1) Pregătim funcția integrand pentru aplicarea formulei.
(2) De fapt, aplicăm formula.
(3) Ridicați numitorul într-un pătrat și luați constanta dincolo de semnul integral. A fost posibil să se facă oarecum diferit, dar, în opinia mea, este mai convenabil.
(4) Folosim formula
(5) În al treilea termen, scădem din nou gradul, dar cu ajutorul formulei.
(6) Oferim termeni similari (aici am denumit termwise și am efectuat adăugarea).
(7) De fapt, luăm integral, regula liniarității și metoda de însumare a funcției sub semnul diferențial se efectuează verbal.
(8) Împingem răspunsul.
! Într-un integru indefinit, răspunsul poate fi adesea scris în mai multe moduri
În exemplul examinat, răspunsul final poate fi scris diferit - pentru a deschide parantezele și chiar a face acest lucru chiar înainte ca expresia să fie integrată, adică următorul sfârșit al exemplului este perfect valabil:
Este posibil ca această opțiune să fie și mai convenabilă, tocmai am explicat-o așa cum am decis eu). Iată un alt exemplu tipic pentru auto-decizie:
Găsiți integritatea nedeterminată.
Acest exemplu este rezolvat în două moduri și puteți obține două răspunsuri complet diferite (mai exact, ele vor arăta complet diferite, iar din punct de vedere matematic ele vor fi echivalente). Cel mai probabil, nu veți vedea calea cea mai rațională și nu veți descoperi paranteze, folosind alte formule trigonometrice. Cea mai eficientă soluție este dată la sfârșitul lecției.
Rezumând paragraf, concluzionăm orice tip integral, și în cazul în care - chiar numere, rezolvate prin reducerea integrandul.
În practică, am întâlnit integrali cu 8 și 10 grade, hemoragia lor teribilă trebuia rezolvată, scăzând gradul de mai multe ori, rezultând răspunsuri lungi.
Metodă de modificare a unei variabile
După cum sa menționat deja în articol Metoda de schimbare a unei variabile într-un integral nedeterminat. principala condiție prealabilă pentru utilizarea metodei de înlocuire este faptul că în integrand există o funcție și derivatul său:
(funcțiile nu sunt neapărat în lucru)
Găsiți integritatea nedeterminată.
Ne uităm la tabelul derivatelor și observam formulele, adică în integrarea noastră există o funcție și derivatul ei. Cu toate acestea, vedem că cosinusul și sinusurile se transformă reciproc în diferențiere și se pune întrebarea: cum se efectuează o schimbare a variabilei și ce se înțelege prin sinus sau cosinus. Întrebarea poate fi rezolvată prin metoda științifică: dacă facem o înlocuire greșită, atunci nu se va întâmpla nimic bun.
Un punct comun de referință: în cazuri similare este necesar să se desemneze o funcție care este în numitor.
Interzicem decizia și o înlocuim
În numitor, totul este bine cu noi, totul depinde numai de, acum rămâne să aflăm ce se va transforma.
Pentru a face acest lucru, găsim diferența:
Sau, dacă este mai scurtă:
Din egalitatea obținută prin regula proporției, exprimăm expresia de care avem nevoie:
Deci:
Acum, toată integranța în noi depinde numai de și putem continua soluția
Efectuat. Vă reamintesc că scopul substituției este de a simplifica integrarea, în acest caz totul a fost redus la integrarea funcției de putere de către masă.
Nu accidental pictat atât de minuțios acest exemplu, acest lucru se face în scopul repetiției și consolidarea lecției materiale variabile metoda de substituție în nedefinită integrală.
Și acum două exemple pentru o soluție independentă:
Găsiți integritatea nedeterminată.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Aici, din nou, în integrand, există un sinus cu cosinus (o funcție cu un derivat), dar deja într-o lucrare, și o dilemă apare - ce înseamnă pentru sinus sau cosinus?
Puteți încerca să înlocuiți metoda cu o știință științifică și dacă nu funcționează, atunci o indicați pentru o altă funcție, dar există:
Orientarea generală: pentru că este necesar să se desemneze această funcție, care, în mod figurat vorbind, se află într-o "poziție incomodă".
Vedem că, în acest exemplu, elevul cosinus "suferă" de grad, iar sine este liber să stea așa, singură.
Prin urmare, vom înlocui:
Dacă cineva are dificultăți în algoritmul de modificare a variabilei și de a găsi diferența, atunci ar trebui să ne întoarcem la lecție. Metoda de modificare a unei variabile într-un integru indefinit.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Analizăm funcția integrand, ce ar trebui indicat?
Ne amintim instrucțiunile noastre:
1) Funcția este cel mai probabil în numitor;
2) Funcția se află într-o poziție "incomodă".
Apropo, aceste valori de referință sunt valabile nu numai pentru funcțiile trigonometrice.
În ambele criterii (mai ales în cel de-al doilea), sinusul este potrivit, prin urmare, înlocuirea sugerează. În principiu, înlocuirea se poate face deja, dar mai întâi ar fi frumos să înțelegem și ce să facem? În primul rând, "prindeți" un cosinus:
Ne rezervăm pentru diferența noastră "viitoare"
Și exprimăm prin sinus prin identitatea trigonometrică de bază:
Acum înlocuitorul:
O regulă generală: Dacă integrandul este una dintre funcțiile trigonometrice (sinus sau cosinus) este într-un grad de ciudat, atunci ai nevoie de studii „muscatura“ ciudat o singură funcție, și - să desemneze o altă funcție. Este vorba doar de integrale în care există cosinus și sinusuri.
În exemplul considerat, într-un grad ciudat, am avut un cosinus, așa că am scos din gradul unui cosinus și am denotat sinusul.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Gradele se duc la decolare =).
Acesta este un exemplu de auto-decizie. Completați soluția și răspundeți la sfârșitul lecției.
Înlocuirea trigonometrică universală
O substituție trigonometrică universală este un caz frecvent al metodei de modificare a unei variabile. Puteți încerca atunci când nu știți ce să faceți. Dar, de fapt, există câteva linii directoare pentru aplicarea sa. Integalele tipice în care trebuie aplicată o substituție trigonometrică universală sunt următoarele integrale: ,,,, etc.
Găsiți integritatea nedeterminată.
În acest caz, substituția trigonometrică universală este realizată în felul următor. Vom înlocui :. Nu folosesc o scrisoare, ci o scrisoare, nu este o regulă, din nou, sunt atât de obișnuită să rezolv.
Aici este mai convenabil să găsim diferențialul, din acest motiv din egalitate, exprim:
Am atârnat pe ambele părți arctangent:
Arctangentul și tangenta sunt distruse reciproc:
În practică, nu puteți să pictați în detaliu, ci pur și simplu să utilizați rezultatul finit:
! Expresia este valabilă numai dacă, sub sines și cosines, avem doar "iks", pentru integral (despre care vom vorbi încă) totul va fi diferit!
La înlocuirea sinusurilor și cosinelor, ele se transformă în următoarele fracțiuni:
, , Aceste ecuații se bazează pe formulele trigonometrice cunoscute :,
Astfel, proiectul final poate fi următorul:
Realizăm o substituție trigonometrică universală:
(1) Facem substituția în integralul original: ,,.
(2) Reducem numitorul la numitorul comun.
(3) Îndepărtăm fracțiunile cu patru povești, în timp ce noi suntem în declin. Extindeți parantezele din numitor, cele două în numărător sunt considerate ca semn integrat.
(4) Oferim termeni similari în numitor.
(5) Integolul este rezolvat prin metoda extragerii unui pătrat complet. Mai multe detalii despre această metodă pot fi găsite la tutorialul de integrare a unor fracții. Descompunerea este pregătirea pentru recepția de mai sus
(6) Selectăm pătratul complet și pregătim integralele pentru integrare.
(7) Ne integrăm prin formula tabelară.
(8) Realizăm o înlocuire inversă, amintindu-ne că.
Luați în considerare un integrat similar: nu, nu o vom rezolva =), ci doar înțelegeți cum să faceți un înlocuitor.
Și aici se efectuează o substituție trigonometrică universală :.
Rețineți că argumentul sub tangent ar trebui să fie de două ori mai mic. decât sub un sinus și un cosinus. Formulele, păstrează status quo-ul, dar diferența va fi ușor diferită (nu l-am scris doar în detaliu în detaliu):
Integral este rezolvată prin înlocuire, etc. totusi, singura diferenta, diferenta va fi din nou putin diferita.
Găsiți integritatea nedeterminată.
Acesta este un exemplu de auto-decizie. Completați soluția și răspundeți la sfârșitul lecției.
Cu ajutorul unei substituții trigonometrice universale, integralele de acest gen sunt rezolvate:
Găsiți integritatea nedeterminată.
Aici, înainte de a aplica substituția trigonometrică universală, este necesar să scădem gradele în numitor cu ajutorul formulelor. Încercați să înțelegeți acest exemplu, soluția completă și răspunsul este foarte aproape!
Utilizarea substituției trigonometrice universale conduce adesea la calcule indelungate și consumatoare de timp. Prin urmare, în practică, substituția trigonometrică universală este evitată (dacă este posibil). Pentru a face acest lucru, utilizați o serie de metode și tehnici, care pot fi găsite în articolul Integrale complexe.
Soluții și răspunsuri:
Exemplul 2: Soluție:
Exemplul 4: Soluție: