15. Funcția liniară
Definiția. Fie a și b numere reale. O funcție definită pe setul \ mathbb de regula x \ rightarrow ax + b. se numește liniară. Numărul a este numit panta. b este un membru liber al acestei funcții.
Proprietățile unei funcții liniare
Fie varphi (x) = ax + b o funcție liniară.
1. Dacă o> 0. atunci \ varphi creste exact daca a<0. то \varphi строго убывает.
Dovada. Fie x_1, x_2 \ in \ mathbb, x_1> x_2,
dacă a> 0. apoi \ varphi (x_1) - \ varphi (x_2)> 0,
dacă a<0. то \varphi(x_1)-\varphi(x_2)<0 .
2. Fie E_ setul de valori ale funcției \ varphi. Dacă un \ ne0. apoi E = = mathbb. dacă a = 0. apoi E = = \
Dovada. Cazul a = 0 este evident. Să presupunem că un \ ne0. Fie y un număr real arbitrar. Trebuie să dovedim că numărul y este valoarea funcției \ varphi. adică, pentru unele x egalitatea
Deci, \ displaystyle y = \ varphi \ left (\ right). Prin urmare, y \ în E_.
3. Dacă un \ ne0. apoi \ varphi are o rădăcină \ displaystyle-.
4. \ displaystyle \ varphi \ left (- \ right) = 0. Dacă o> 0. atunci \ varphi creste cu strictete, prin urmare, cu \ displaystyle x> - \ varphi (x)> \ varphi \ left (- \ right). adică, \ varphi (x)> 0;
la \ displaystyle x<- \displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-\right). то есть \varphi(x)<0 .
Dacă a<0. то \varphi строго убывает, следовательно, при \displaystyle x>- \ displaystyle \ varphi (x)<\varphi\left(-\right). то есть \varphi(x)<0 ;
la \ displaystyle x<- \displaystyle \varphi(x)>\ varphi \ left (- \ right). adică, \ varphi (x)> 0.
5. Să găsim rata medie de creștere a unei funcții liniare pe un interval arbitrar [\ alpha \ beta] (\ alpha \ ne \ beta):
Rata medie de creștere a unei funcții liniare este constantă și egală cu coeficientul său unghiular.
Această proprietate este o proprietate caracteristică a unei funcții liniare.
Teorema. Fie funcția f definită pe setul \ mathbb și are o rată medie de creștere constantă. Atunci f este o funcție liniară.
Dovada. Fie a fi rata medie de creștere a funcției f. lasă b = f (a). Să dovedim asta
Dacă x \ ne0. apoi \ displaystyle = a (aceasta este valabilă pentru x> 0 și pentru x<0 ). f(x)-b=ax\Rightarrow f(x)=ax+b .
Ultima egalitate este valabilă și pentru x = 0.
6. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.
Definiția. O funcție definită pe întreaga axă numerică se numește liniar pe o bucată. în cazul în care axa numerică poate fi împărțită în intervale astfel încât, în interiorul fiecărui interval de lungime nonzero, această funcție să fie liniară.
Exemple de funcții lineare pe bucăți: f (x) = | x |, \ f (x) = [x] este partea intregă a unui număr, f (x)
1. găsiți ecuațiile liniilor care îndeplinesc următoarele condiții:
1) Linia trece prin punctele (2; 0) și (-1; 3).
2) Linia dreaptă trece prin punctele (2; 1) și (2; 7).
3) Linia trece prin origine și este paralelă cu linia dreaptă y = 2x-1.
4) Linia dreaptă trece prin punctul (-1; 2) și este paralelă cu linia 3x-5y = 2.
5) Linia dreaptă este echidistantă față de punctele (1, 1) și (3; 3) și este perpendiculară pe linia dreaptă care trece prin puncte.
2. Funcția f este dată de formula f (x) = 5-3x. Găsiți seturile:
3. Funcția f este dată de formula f (x) = ax + 1. Pentru fiecare dintre următoarele afirmații, găsiți toate valorile f (x) = ax + 1. Pentru fiecare din următoarele afirmații, găsiți toate valorile a. pentru care este valabil:
4. Aflați pentru care valori ale afirmației următoare sunt adevărate:
5. Imagine gmt.t. date de condițiile:
5) Construiți grafice funcționale:
Pentru mine, întrebarea a apărut brusc:
============================
Putem presupune că funcția y = semn (x) este liniară liniară?
============================
La urma urmei, prin definiție (după cum sa arătat mai sus):
O funcție definită pe întreaga axă numerică se numește liniar liniar dacă axa numerică poate fi împărțită în intervale de o lungime non-NULL, în cadrul fiecăreia dintre care această funcție este liniară.
============================
Și valoarea y = 0 este dată numai pentru un punct. Acest lucru are ca rezultat un "gol" de ZERO lungime.
.
Sau, poate, corectați definiția de mai sus.
.
** Sau nu recunoaștem funcția y = semn (x) ca liniară liniară.
Un alt lucru important este că funcția trebuie definită pe întreaga axă. Prin urmare, totul este corect. Pentru intervale de zero, nu avem nevoie de nimic.
După părerea mea, definiția este complet corectă.
=================================
Și în Wikipedia, sunt de acord, există greșeli enervante.