Alegem un vector arbitrar de spațiu și originea sa este compatibilă cu originea :.
Să găsim proiecțiile vectorului pe axele de coordonate. Trageți prin capătul planelor vectoriale paralele cu planurile de coordonate. Punctele de intersecție a acestor planuri cu axele de coordonate vor fi notate cu M1, respectiv. M2 și M3. Obținem un paralelipiped dreptunghiular, unul dintre diagonalele căruia este un vector. Atunci prh. desface. PRZ. Prin definiție,
Gasim diviziunea sumei mai multor vectori.
Indicăm proiecțiile vectorului pe axa Ox. Oy și Oz prin intermediul. și. și anume . . . Apoi obținem din egalitățile (5.1) și (5.2)
și anume suma cosinelor de direcție a unui vector nonzer este egală cu una.
Este ușor de observat că coordonatele vectorului unității sunt numere. și anume
Deci, după ce ați setat coordonatele vectorului, puteți oricând să-i determinați modulul și direcția, adică vectorul în sine.
Acțiuni pe vectori date de proiecții
Fie vectorii u prin proiecțiile lor pe axele de coordonate Ox. Oy. Oz sau, care este același lucru
Operații liniare pe vectori
Deoarece operațiile liniare pe vectori reduc la operațiile liniare corespunzătoare pe proiecțiile acestor vectori, putem scrie:
sau pentru scurt timp. Adică, atunci când se adaugă (scăzând) vectori, se adaugă (se scad) coordonatele lor cu același nume.
2. Sau mai scurtă. Adică atunci când vectorul este înmulțit cu un scalar, coordonatele vectorului se înmulțesc cu acest scalar.
De la definirea unui vector ca segment direcționat, care poate fi mutat în spațiu paralel cu el însuși, rezultă că doi vectori și sunt egali dacă și numai dacă următoarele egalități dețin :. și anume