Definiția. Se spune că un operator liniar este normal. în cazul în care.
Notă. Operatorii liniari singuri și independenți sunt cazuri particulare de operatori obișnuiți.
Teorema. Caracteristica spectrală a unui operator normal. Pentru a exista o bază ortonormală în care un operator liniar este redus la o formă diagonală, este necesar și suficient.
Necesitate. Să presupunem că, într-o bază ortonormală, matricea operatorului A este diagonală. deoarece baza ortonormală, atunci matricea operatorului va fi (transpune, conjugă). În consecință ,.
Suficiență. Lasă-l să fie. Să arătăm că operatorii A au un eigenvector comun:
Spanul liniar este un subspațiu invariant unidimensional și este, de asemenea, un subspațiu invariant. Să demonstrăm acest lucru:
Lasă-l să fie. va fi de asemenea membru. deoarece . Considerăm acum acțiunea operatorului A de la (...) Continuând acest proces, obținem o bază ortogonală a vectorilor proprii, normalizăm-o pe o bază normalizată.
Definiția. se numește operator simplu de structură. dacă A are n vectori proprii liniar independenți.
Teorema. Un criteriu pentru simplitatea structurii unui operator liniar. Pentru ca un operator liniar A să aibă o structură simplă este necesar și suficient pentru orice rădăcină a ecuației caracteristice a rangului de multiplicitate.
Necesitate. A este un operator simplu de structură. În consecință, există n vectori independenți liniari, alegând ca bază a L, obținem că matricea operatorului liniar în bază are forma :. Și între ele poate fi același lucru. Dacă prin A se desemnează matricea unui operator liniar într-o bază arbitrară. atunci. unde P este matricea de tranziție de la baza e de la vectorii proprii la baza f. Prin urmare. și anume și sunt similare și au același rang. . numărul elementelor diagonale care nu sunt zero; numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice inegale. astfel .
Suficiență. Să fie diferitele valori proprii ale operatorului A. Vectorii proprii corespund valorii proprii. formează un subspațiu în L prin dimensiune. În consecință, operatorul liniar A are vectori proprii liniar independenți care corespund valorii proprii. astfel avem vectori proprii. Arătăm că ele sunt independente liniar în agregat (prin contradicție). Să presupunem că acest lucru nu este posibil și că egalitatea combinației liniare este posibilă pentru coeficienții nonzero. Prin urmare, permiteți. Introducem un operator liniar.
Un semn suficient al unui operator simplu de structură. Dovedeste ca fiecare operator liniar dintr-un spatiu real are un subspatial invariant unidimensional (bidimensional).
Teorema. Un semn suficient al unui operator simplu de structură. Dacă toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite, atunci operatorul liniar A are o structură simplă.
Dovada. Lasă-l să fie. Se arată că sistemul este independent din punct de vedere liniar: (1). Va acționa ca un operator liniar. (2). Acesta va acționa pe (2) de către un operator liniar. (3). Continuând procesul până la operator, obținem (4). Rețineți că (4) este rezultatul aplicării operatorului în ecuația inițială. Rezultă din (4). Dacă aplicăm operatorul la ecuația inițială, putem arăta asta. În general, alegerea adecvată a operatorului poate fi realizată, adică toate. În consecință, sunt liniar independente, iar A este un operator de structură simplă.
Teorema 1. Fiecare operator liniar într-un spațiu real are un subspațiu invariant unidimensional (bidimensional) invariabil.
Dovada. Alegem o bază în spațiul liniar X. În această bază, operatorul liniar A corespunde unei matrice. care transformă coordonatele în coordonate. Luați în considerare condiția în formă de coordonate:
Apoi, există o soluție non-zero a (1) dacă (2). Și să fie rădăcina ecuației (2). Există două cazuri posibile:
1) este reală, atunci există o soluție a sistemului (1). care determină coordonatele vectorului propriu x. x generează un spațiu invariant unidimensional;
- complex (). Să fie o soluție a sistemului (1). Înlocuim aceste numere în (1) și separăm partea reală de partea imaginară.
(3).
Vom presupune că ele sunt coordonatele unor vectori x, iar a sunt coordonatele y, apoi (4). Ecuația (4) înseamnă că intervalul liniar este un subspațiu invariant bidimensional al operatorului relativ.