Suma (uniunea) a două sobytiyAiB (denotat) se numește eveniment constând din toate evenimentele elementare, care aparțin cel puțin unul dintre evenimentele A sau B. combinații de evenimente A și B prezentate în Figura 2 ca o zonă umbrită.
Dăm un exemplu de combinație de evenimente. Să două săgetătură la o țintă în același timp, iar evenimentul A este că ținta devine săgeata 1, iar evenimentul B - că obiectivul devine 2a. Evenimentul înseamnă că țintă este lovită sau, altminteri, că cel puțin unul dintre șoferi a lovit ținta.
Produsul (intersecția) dintre evenimentele A și B este un eveniment care constă în toate acele rezultate elementare care aparțin ambelor A și B. În Figura 3, intersecția evenimentelor A și B este reprezentată ca o zonă umbrită. În condițiile exemplului de mai sus, evenimentul constă în faptul că ambele săgeți au lovit țintă.
O diferență A \ B sau A-B a evenimentelor A și B este un eveniment constând din toate rezultatele evenimentului A. Nu este favorabil evenimentului B. Diagrama Venn a diferenței de evenimente A și B este prezentată în figura 4.
În condițiile din exemplul de mai sus, evenimentul A \ B este acela că primul shooter a lovit ținta, iar al doilea a ratat.
eveniment # 87; se numește fiabil (se produce în mod necesar ca urmare a unui experiment accidental).
Set gol # 198; este numit un eveniment imposibil. Eveniment = # 87; \ A este numit evenimentul opus al lui A sau adăugarea evenimentului A.
Evenimentele A și B sunt numite incompatibile. dacă nu există rezultate care să aparțină atât A cât și B, # 198;. Figura 5 prezintă evenimente inconsecvente A și B.
Evenimentul B va fi numit consecința evenimentului A. Dacă toate rezultatele evenimentului A sunt favorabile evenimentului B. Faptul că A urmează de la A este scris de simbolul A # 204; B și este reprezentat în diagrama Venn așa cum se arată în figura 6.
Direct de la definițiile introduse, urmează următoarele ecuații: A = # 198; ; ; . Ultimele două egalități sunt numite formulele DeMorgan.
Teoreme pentru adăugarea și multiplicarea probabilităților. Independența evenimentelor. Probabilitate condiționată.
1. Trei împușcături trag la aceeași țintă, iar fiecare loveste sau pierde, indiferent de rezultatele loviturilor de la ceilalți împușcați. Probabilitatea de a atinge țintă pentru fiecare dintre împușcături, respectiv, este de 0,8; 0,7; 0.5. Determinați probabilitățile următoarelor evenimente:
a) toți cei trei împușcați lovesc țintă;
b) cel puțin un shooter a lovit ținta;
c) două săgeți ating ținta.
a) Deoarece luăm în considerare evenimente independente, probabilitatea de a lovi pe toți cei trei trăgători în țintă este egală cu rezultatul probabilităților fiecărei lovituri:
P = 0,8 '0,7' 0,5 = 0,28
b) Desemnăm acest eveniment de către A. Mai multe rezultate incompatibile îl favorizează, de exemplu :. În loc să luăm în considerare toate aceste rezultate, să luăm evenimentul - finalizarea evenimentului A sau, altfel, evenimentul opus evenimentului A. Se compune din faptul că toate cele trei săgeți nu au lovit ținta. Probabilitatea lui este:
(1 - 0,8) '(1 - 0,7)' (1 - 0,5) = 0,5
Acum putem determina probabilitatea evenimentului de interes pentru noi:
P (A) = 1 - P () = 1 - 0,5 = 0,5
c) Acest eveniment este favorizat de trei rezultate:
0,8 '0,7' (1 - 0,5) = 0,28
0,8 '(1 - 0,7)' 0,5 = 0,12
(1 - 0,8) '0,7' 0,5 = 0,07
Evident, aceste rezultate sunt incompatibile și, prin urmare, probabilitatea unirii lor, care este un eveniment al lui A., este egală cu suma probabilităților lor:
P (A) = 0,28 + 0,12 + 0,07 = 0,47
2. Sunt aruncate trei zaruri. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:
a) trei șase au căzut;
b) trei șase au căzut, dacă se știe că una dintre oase a căzut la șase.
a) Aici răspunsul este evident:
b) Semnăm prin A evenimentul constând în căderea a trei șase și prin B - în toamna a șase pe cel puțin un os. Atunci P (A / B) este probabilitatea necesară. Evenimentul A # 199; În acest caz, coincide cu evenimentul A. Prin urmare, rezultă că P (A # 199; B) =. Probabilitatea evenimentului B este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea evenimentului. opus evenimentului B, adică căzând din trei numere diferite de cele șase. Probabilitatea este. De aici rezultă: P (B) =. Rezultatul este:
3. Din cei 20 de elevi din clasă, 8 persoane fumează, 12 îmbrăcăminte de ochelari și 6 și fumători și ochelari de uzură. Unul dintre elevi a fost chemat la tablă. Definiți evenimentele A și B după cum urmează: A =, B =.
Stabiliți dacă evenimentele A și B sunt dependente sau nu. Faceți o presupunere despre natura efectului fumatului asupra vederii.
Soluția. Deci, cum. atunci condiția de independență nu este îndeplinită, deci evenimentele A și B sunt dependente.
Să găsim probabilitatea condiționată de faptul că un elev poartă ochelari, cu condiția să fumeze :. Probabilitatea necondiționată a faptului că elevul poartă ochelari. este egal cu. Deci, cum. apoi concluzionăm: fumatul contribuie la diminuarea vederii.
5. Studentul cunoaște 20 din 25 de întrebări legate de program. Creditul este dat dacă elevul răspunde la cel puțin 3 din 4 întrebări din bilet. Privind la prima întrebare, studentul a constatat că îl cunoștea. Care este probabilitatea ca elevul să treacă testul?
Fie A evenimentul în care studentul a trecut testul;
B - evenimentul în care studentul cunoaște prima întrebare din bilet.
Este evident că p (B) =. Acum este necesar să se determine probabilitatea p (A # 199; B). Dintre cele 25 de întrebări în total, puteți elabora diverse bilete care conțin 4 întrebări. Toate biletele, a căror alegere ar satisface atât evenimentele A, cât și evenimentul B, ar trebui să fie compuse după cum urmează. orice student știe toate întrebările de bilete (puteți face numai astfel de bilete), sau studentul cunoaște prima, a doua și a treia întrebare, dar nu știu a patra (puteți face doar 5 dintre aceste bilete), sau studentul cunoaște prima, a doua și a patra întrebare, dar nu știe a treia (încă 5 bilete), sau elevul cunoaște prima, a treia și a patra întrebare, dar nu știe de-al doilea (de asemenea, 5 bilete). Prin urmare, obținem asta
Rămâne doar pentru a găsi probabilitatea necesară p (A / B):
Estimarea parametrilor populației generale
Parametrii principali ai populației generale sunt media (medie) M (X) și abaterea medie pătrată # 115;. Acestea sunt valori constante, care pot fi estimate din datele eșantionului. Estimarea parametrului general, exprimată printr-un singur număr, se numește valoare punctuală.
O estimare punct a mediei generale # 109; este media eșantionului. Media reprezintă media aritmetică a tuturor valorilor valorii găsite în eșantion.
Dacă media mediei eșantionului este calculată de date negroupate, atunci pentru a determina aceasta, suma tuturor valorilor este împărțită la numărul elementelor din eșantion:
Un exemplu. Calculați greutatea corporală medie a fetelor de 6 ani.
Dacă media mediei eșantionului este calculată prin seria de variație, atunci suma produselor din variantă se găsește la frecvențele corespunzătoare și este împărțită la numărul elementelor din eșantion.
Un exemplu. Se calculează greutatea corporală medie a fetelor de 6 ani (seria clasificată - 22 23 23 24 24 25 25 25 25 26 27).
În cazul în care datele statistice sunt prezentate sub forma unei serii de variație a intervalului, la calcularea valorilor medii a eșantionului, opțiunea este considerată mijlocul intervalelor.
Exemplu: calculați masa corporală medie a femeilor de 30 de ani.
Media eșantionului este principala caracteristică a situației, arată centrul de distribuție al populației, permite să se caracterizeze populația studiată într-un număr, să se urmărească tendința de dezvoltare, să se compare populațiile diferite.
Caracteristicile nonparametrice ale poziției sunt modul și mediana. Modul se numește varianta cu cea mai mare frecvență (pentru ultimul exemplu, modul este egal cu 67,5).
Medianul se numește varianta situată în centrul seriei clasificate. Dacă seria constă dintr-un număr par de variante, atunci mediana este media aritmetică a celor două variante situate în centrul seriei clasificate.
Exemplu: pentru a găsi modul și mediana eșantionului după greutatea corporală a fetelor de 6 ani