Prima lecție. vibrație
Informații generale privind fluctuațiile. Mici oscilații. Numere complexe. Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu
Oscilații libere ale sistemului fără frecare. Armonice oscilante. Amplitudinea, frecvența și faza de oscilație. Energia oscilației armonice. Pendulumurile matematice și fizice.
Informații generale privind fluctuațiile
Oscilațiile sunt procese caracterizate printr-un anumit grad de frecvență. Această caracteristică a repetabilității este, de exemplu, oscilarea ceasului pendulului, oscilația șirului sau picioarelor furcii de tuning, tensiunea dintre plăcile condensatoarelor din circuitul radio etc.
În funcție de natura fizică a procesului repetat, se disting oscilațiile: mecanice, electromagnetice, electromecanice etc. În acest capitol se iau în considerare vibrațiile mecanice.
Oscilațiile sunt larg răspândite în natură și în tehnologie. În multe cazuri, ele joacă un rol negativ. Fluctuațiile pod, care rezultă din șoc, el a raportat roți de tren, atunci când trece prin îmbinări, oscilație (vibrații) a corpului navei cauzată de rotația elicei, planul de vibrație a aripilor - toate procesele care pot duce la consecințe catastrofale. În astfel de cazuri, sarcina este de a preveni apariția oscilațiilor sau, în orice caz, pentru a împiedica oscilațiile să ajungă la dimensiuni periculoase.
În același timp, procesele oscilatorii se află chiar în baza diverselor ramuri ale tehnologiei. De exemplu, toate ingineria radio se bazează pe procese oscilante.
În funcție de natura efectului exercitat asupra sistemului oscilant, se disting oscilațiile libere (sau intrinsece), oscilațiile forțate, oscilațiile și oscilațiile parametrice.
Vibrațiile libere sau ale lor sunt numite astfel de vibrații care apar într-un sistem lăsat la sine însuși, după ce i-a fost împărțit un șoc sau a fost retras din poziția de echilibru. Un exemplu este oscilarea unei mingi suspendate pe o șir (pendul). În scopul de a provoca fluctuații, puteți fie împingeți mingea, fie, lăsând-o deoparte, lăsați-o să plece.
Forțate sunt numite astfel de oscilații, în timpul cărora sistemul oscilant este supus unei forțe variabile periodic exterioare. Un exemplu este oscilațiile de punte care apar atunci când oamenii care se plimbă de-a lungul acestuia se mișcă în picior.
Self-oscilații, precum și oscilații forțate, însoțite de expunerea la un sistem oscilant de forțe externe, dar uneori atunci când sunt implementate, aceste impacturi sunt stabilite în sine sistem oscilant - sistemul în sine controlează influența externă. Exemple sunt auto-oscilant ceasul de sistem, în care pendulul primește șocurile datorate greutăților energetice ridicate sau a arcurilor răsucite, apar aceste trepidațiilor în acele momente în care pendulul trece prin poziția de mijloc.
Cu oscilații parametrice, datorită influențelor externe, apare o schimbare periodică a unui anumit parametru al sistemului, de exemplu, lungimea șirului la care este suspendată bila care oscilează.
Cele mai simple sunt oscilații armonice, adică. E. Aceste oscilații, în care fluctuante valoare (de exemplu, deviația pendulului) variază în funcție de timp, conform unui sinus sau cosinus. Acest tip de oscilație este deosebit de importantă pentru următoarele motive: în primul rând, fluctuațiile în natura și în arta au adesea un caracter care este foarte aproape de armonice, și, în al doilea rând, procese discontinue formă diferită (celălalt dependent de timp) poate fi reprezentat ca superpoziția mai multe oscilații armonice.
Luați în considerare un sistem care constă dintr-o minge de masă m. suspendat pe un arc (Figura 162). Într-o stare de echilibru, forța mg este echilibrată de o forță elastică k Δl0:
Vom caracteriza deplasarea mingii din poziția de echilibru prin coordonata x. cu axa x îndreptată vertical în jos și zero a axei este compatibilă cu poziția de echilibru a mingii. Dacă mingea este deplasată din poziția de echilibru cu o distanță egală cu x
(x este o cantitate algebrică), atunci extensia arcului devine egală cu Δl0 + x și proiecția forței rezultante pe axa x (indicăm această proiecție pur și simplu cu litera f) are valoarea
Luând în considerare condiția de echilibru (62.1), descoperim acest lucru
Semnul "-" din formula (62.2) reflectă faptul că deplasarea și forța au direcții opuse:
dacă mingea este deplasată din poziția de echilibru în jos (x> 0), forța este direcționată în sus (f <0), при смещении шарика вверх (х <0) сила направлена вниз (f> 0). Astfel, forța f are următoarele proprietăți: 1) este proporțională cu deplasarea mingii din poziția de echilibru, 2) este întotdeauna îndreptată spre poziția de echilibru.
În exemplul considerat, forța (62.2), în esență, este de natură elastică. Se poate întâmpla ca o forță de origine diferită să dezvăluie aceeași regularitate, adică se dovedește a fi egală cu -kx. unde k este o cantitate constantă pozitivă. Forțele de acest fel, indiferent de natura lor, sunt numite de obicei cvasi-elastice.
Pentru a informa sistemul de deplasare x. Este necesară efectuarea muncii împotriva forței cvasietice
Această activitate este de a crea o rezervă de sisteme energetice potențiale. În consecință, sistemul în care acționează forța cvasi-elastică, atunci când este deplasată din poziția de echilibru cu o distanță x, are o potențială energie "
(presupunem că energia potențială în poziția de echilibru este zero).
Expresia (62.3) coincide cu expresia (27.13) pentru energia potențială a arcului deformat.
Să revenim la sistemul prezentat în Fig. 162. Să informăm mingea cu deplasarea x = a. după care vom furniza sistemul la sine. Sub acțiunea forței f = -kx, bila se va muta în poziția de echilibru cu o viteză tot mai mare v = x '. În acest caz, energia potențială a sistemului va scădea (Fig.163), dar o energie cinetică tot mai mare Ek = mx '2/2 (neglijăm masa arcului).
După ce a ajuns la poziția de echilibru, mingea continuă să se miște prin inerție. Această mișcare va fi lentă și se va opri când energia cinetică va fi complet transformată într-o potențială energie, adică atunci când deplasarea mingii devine egală cu (-a). Apoi, același proces va avea loc atunci când mingea se mișcă în direcția opusă.
') Suntem obligați să abandonăm notația energiei cinetice și potențiale utilizate în mecanică. În teoria oscilațiilor, litera T este folosită pentru a desemna perioada oscilațiilor. Litera U din fizica moleculară denotă energia internă a corpului.
Adăugarea oscilațiilor unei singure direcții. Vector diagramă. Beats. Adăugarea vibrațiilor reciproc perpendiculare.
Oscilații amortizate. Coeficient de atenuare. Reducerea decrementului logaritmic. Factorul Q al sistemului oscilator. Miscarea aperiodica. Auto-oscilații.
Reprezentarea grafică a oscilațiilor armonice. Vector diagramă
Soluția unui număr de probleme, în special, adăugarea mai multor oscilații în aceeași direcție, este mult facilitată și devine viu dacă reprezentăm oscilațiile grafic sub forma vectorilor pe plan. Schema obținută în acest mod se numește diagrama vectorială.
Luăm axa, pe care o indicăm prin litera x (Fig.171)
Din punctul O, luată pe axă, am amânat un vector cu lungimea a. formând un unghi α cu axa. Dacă acest vector este rotit cu o viteză unghiulară ω0. atunci proiecția sfârșitului vectorului se va deplasa de-a lungul axei x în intervalul de la -a la + a. iar coordonatele acestei proiecții se vor schimba în timp, în conformitate cu legea
Prin urmare, vectorul de proiecție final pe axa va efectua oscilații armonice cu o amplitudine egală cu lungimea vectorului, o frecvență unghiulară egală cu viteza unghiulară a vectorului de rotație, iar faza inițială egală cu unghiul format de vectorul cu axa timpului inițial.
Din cele de mai sus rezultă că oscilația armonică poate fi dată prin intermediul unui vector a cărui lungime este egală cu amplitudinea oscilației și direcția vectorului formează un unghi cu axa x egal cu faza inițială a oscilației.
Adăugând oscilații în aceeași direcție
Există cazuri în care organismul participă simultan la mai multe oscilații care au loc de-a lungul aceluiași sau în direcții diferite.
Dacă, de exemplu, să fie atârnat pe o minge de primăvară la plafonul masinii, pe arcurile rocker, mișcarea mingea în raport cu suprafața pământului va consta din trenul de oscilații față de Pământ și de oscilație bec în raport cu căruciorul. Luați în considerare adăugarea a două oscilații armonice de aceeași direcție și aceeași frecvență. Deplasarea x a corpului oscilant este suma deplasărilor x1 și x2. care sunt scrise astfel:
Reprezentăm ambele oscilații cu ajutorul vectorilor a1 și a2 (Figura 172). Construim vectorul de rezultat a prin regulile de adăugare a vectorilor. Este ușor de observat că proiecția acestui vector pe axa x este egală cu suma proiecțiilor termenilor vectorilor:
În consecință, vectorul a reprezintă oscilația rezultantă. Acest vector se rotește cu aceeași viteză unghiulară ω0. cum ar fi vectorii a1 și a2. astfel încât mișcarea rezultată va fi o oscilație armonică cu o frecvență ω0. amplitudinea a și faza inițială α. Se poate vedea din construcție că
Astfel, reprezentarea oscilațiilor armonice prin vectori face posibilă reducerea adăugării mai multor oscilații la adaosul de vectori. Această metodă este utilă, în special, în optică, unde oscilațiile de lumină la un anumit punct sunt determinate ca rezultat al impunerii multor oscilații care ajung la un punct dat din diferite secțiuni ale frontului de undă.
Desigur, formulele (69.2) și (69.3) pot fi obținute prin adăugarea expresiilor (69.1) și efectuarea transformărilor trigonometrice corespunzătoare. Dar metoda de obținere a acestor formule, folosită de noi, se distinge printr-o mai mare simplitate și claritate.
Să analizăm expresia (69.2) pentru amplitudine. Dacă diferența de fază a ambelor oscilații α2 - α1 este zero, amplitudinea oscilației rezultate este egală cu suma a1 și a2. Dacă diferența de fază α2 - α1 este + π sau -π, adică ambele oscilații sunt în antifază, atunci amplitudinea oscilației rezultate este | a1 - a2 |.
Dacă frecvențele de oscilație x1 și x2 nu sunt aceleași, vectorii a1 și a2 se vor roti la viteze diferite. În acest caz, vectorul rezultat pulsează în magnitudine și se rotește la o rată neconstantă. În consecință, mișcarea rezultată nu va fi în acest caz o oscilație armonică, ci un proces oscilatoriu complex.
Un interes deosebit este cazul în care două oscilații armonice adiționale de aceeași direcție diferă puțin în frecvență. Așa cum vom arăta acum, mișcarea rezultată în aceste condiții poate fi considerată ca fiind
armonic cu o amplitudine pulsatoare. O asemenea vibrație se numește bateți.
Să denotăm frecvența uneia dintre oscilații prin litera ω, frecvența celei de-a doua oscilații prin ω + Δω. Prin condiția Δω <<ω. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Практически это означает,
că trebuie să așteptăm până când biasul în ambele oscilații ajunge simultan la cea mai mare valoare pozitivă și în acest moment "începe cronometrul". Apoi ecuațiile ambelor oscilații vor avea următoarea formă:
Adăugând aceste două expresii și aplicând formula trigonometrică pentru suma cosinelor, primim:
(în al doilea factor neglijăm termenul Δω / 2 în comparație cu ω).
Graficul grafic al funcției (70.1) este prezentat în Fig. 173, a. Graficul este construit pentru ω / Δω = 10.
Factorul inclus în paranteze din formula (70.1) variază mult mai lent decât al doilea factor.