Capitolul 1. Axa și un segment al unei axe. Coordonează linia
Linia pe care se alege direcția pozitivă se numește axă. Axa Segment ogrnichenny ce unele puncte A și B, numit îndreptate dacă să spun care dintre aceste puncte este considerat începutul segmentului, care - end. Un segment direcționat cu începutul A și capătul B este marcat de simbol. segment Axa Valoare direcționată este lungimea sa, luat cu semnul plus, în cazul în care direcția segmentului (adică direcția de la început până la sfârșit) coincide cu direcția pozitivă a axei, și cu semnul minus, dacă direcția opusă direcția pozitivă a axei. Valoarea segmentului este indicată printr-un simbol. lungimea sa este un simbol. Dacă punctele A și B coincid, segmentul definit de acestea este numit zero; în acest caz AB = BA = 0 (direcția segmentului zero trebuie considerată nedefinită).
Coordonata oricărui punct M al liniei drepte a (în sistemul de coordonate stabilit) este numărul x, egal cu valoarea segmentului OM:
Punctul O este denumit originea coordonatelor; coordonata proprie este zero. În continuare, simbolul M (x) înseamnă că punctul M are o coordonată x.
Dacă u sunt două puncte arbitrare ale liniei drepte a, atunci formula
exprimă valoarea segmentului. formulă
își exprimă lungimea.
Capitolul 2. Coordonate dreptunghiulare carteziene în plan
Cartezian sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de unitatea de atribuire liniară pentru lungimi de măsurare și două axe perpendiculare între ele, numerotate în orice ordine.
Punctul de intersecție al axelor se numește origine, iar axele se numesc axele coordonatelor. Prima axă de coordonate se numește axa abscisă, a doua axă se numește axa de coordonate.
Originea coordonatelor este notată cu litera O. axa abscisă de simbolul Ox. axa ordinelor este simbolul Oy.
Coordonatele unui punct arbitrar M într-un sistem dat sunt numerele
(A se vedea figura 1 ..), unde și sunt punctul de proiecție M pe axa Ox și Oy denotă valoarea abscisei segmentului - dimensiunea segmentului ordonata. Numărul x se numește abscisa punctului M, numărul y este ordonata aceluiași punct. Simbolul M (x; y) indică faptul că punctul M are numărul absciselor x și ordonata y.
Axa Oy împarte întregul plan în două jumătăți de plan; una dintre ele, situată în direcția pozitivă a axei Ox, se numește axa dreaptă, cealaltă este cea stângă. În exact același fel, axa Oy împarte planul în două jumătăți de plan; unul dintre ele, care este poziționat în direcția pozitivă a axei Oy, se numește vârful, celălalt inferior.
Ambele împreună axe împart planul în patru sferturi, număr care, în felul următor: primul coordonate trimestru numit ceea ce se află atât în dreapta și în jumătatea superioară, al doilea - în spatele stânga și în jumătatea superioară a treia - în spatele stânga și la partea de jos jumătate de avion, a patra - situată în dreapta și în jumătatea inferioară a planului.
Capitolul 5. Divizarea unui interval în acest sens
Dacă punctul M (x; y) se află pe o linie care trece prin două puncte de date (.) Și (.), Și dat o relație. în care punctul M împarte segmentul. atunci coordonatele punctului M sunt determinate de formule
Dacă punctul M este punctul central al segmentului. atunci coordonatele sunt determinate de formule
Capitolul 15. Ecuația unui pachet de linii
Setul de linii care trece printr-un punct S este numit un creion de linii cu centru în S.
Dacă u sunt ecuațiile a două linii intersectate la punctul S, atunci ecuația
în cazul în care. - Orice număr care nu este egal cu zero în același timp determină o linie care trece, de asemenea, prin punctul S.
În plus, în ecuația (1) există numere. fie întotdeauna aleasă astfel încât să fie determinată orice linie (predefinită) care trece prin punctul S, cu alte cuvinte, orice linie grindă cu centru S. Prin urmare, ecuația formei (1) este ecuația fasciculului (cu centrul la S).
În cazul în care. apoi împărțind ambele laturi ale ecuației (1) și stabilind. avem
Această ecuație poate fi utilizată pentru a defini orice linie a creionului cu centrul S, cu excepția celui care corespunde. care este, în plus față de directe
Capitolul 17. Cercuri
definește un cerc cu raza R cu centrul C (;).
Dacă centrul opacității coincide cu originea, adică dacă. . apoi ecuația (1) ia forma
Elipsa este locul geometric al punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe în plan, numit focarele, este o constantă mai mare decât distanța dintre focii. Suma constantă a distanțelor de la orice punct al elipsei la focarele de obicei notată cu 2a. Focurile elipsei sunt marcate cu literele și. distanța dintre ele este după 2 secunde. Prin definirea unei elipse sau a unei.
Să i se dea o elipsă. În cazul în care axele carteziene sistemului de coordonate sunt alese astfel încât punctele focale ale elipsei sunt situate pe axa abscisei simetric în raport cu originea, în acest sistem de coordonate, ecuația elipsei este dată de
în cazul în care; în mod evident. O ecuație a formei (1) este numită ecuația canonică a unei elipse.
Cu această alegere de sistem de coordonate, axele de coordonate sunt axele de simetrie ale elipsei și originea - centrul de simetrie (Fig.). Axele de simetrie ale elipsei sunt numite pur și simplu axele sale, centrul simetriei este pur și simplu centrul. Punctele la care elipsa intersectează axele sale se numesc nodurile sale. În Fig. Nodurile elipsei sunt A „A, B“ punct, B. elipsă Adesea axele numite segmente A'A = 2a și 2b = B'B; împreună cu segmentul OA = o axă majoră numită elipsei, un segment OB = b - axa minoră.
Dacă focii elipsă sunt situate pe axa y (simetric în jurul originii), ecuația elipsa are aceeași formă ca și (1), dar în acest caz; Prin urmare, dacă dorim să denumeam semiaxisul cu litera a, atunci în ecuația (1) trebuie să schimbăm literele a și b. Cu toate acestea, pentru comoditatea de probleme de limbă, suntem de acord cu litera și reprezintă întotdeauna o jumătate de linie, situat pe axa x, litera b - arborele planetar situat pe axa y, indiferent de faptul că mai mare, a sau b. Dacă a = b, atunci ecuația (1) definește un cerc considerat ca un caz special al unei elipse.
unde a este axa semimajor, se numește excentricitatea elipsei. Evident, pentru un cerc. Dacă M (x, y) - un punct arbitrar al elipsei, iar segmentele (Fig.) Numit razele focale ale punctului M. Raza focală poate fi calculată cu formulele
Dacă elipsa este definită prin ecuația (1) și. apoi direct
(Fig.) Se numesc direcții directe ale unei elipse (dacă, atunci direcțiile directe sunt definite de ecuații.
Fiecare directricea are următoarea proprietate: dacă r - distanța de la punctul arbitrar la un focar al elipsei, d - distanța de la același punct la unilateral cu acest accent directricea, raportul r / d este o constantă egală cu excentricitatea elipsei:
În cazul în care două planuri și formează un unghi ascuțit. apoi proiecția pe planul unui cerc de rază care se află în plan. este o elipsă cu semiaxis major a; Semiaxul mic al acestei elipse este determinat de formula
Dacă cilindrul circular are, ca cercul de ghidare al razei b, planul secțiunii transversale a cilindrului, înclinată spre axa cilindrului la un unghi ascuțit. va exista o elipsă a cărei semiaxis minor este egal cu b; Axa semimajor a acestei elipse este determinată de formula
O hiperbolă este locusul punctelor pentru care diferența de distanțe față de două puncte fixe ale planului, numite foci, este o constantă; diferența indicată este luată în valoare absolută și este notată cu 2a. Focurile de hiperbolă sunt notate cu literele și. distanța dintre ele este după 2 secunde. Prin definiție, hiperbolă. sau.
Să presupunem că avem o hiperbolă. Dacă axa dekatovoy dreptunghiular sistem de coordonate sunt alese astfel încât focarele hiperbola sunt situate pe axa abscisei simetric în raport cu originea, în acest sistem de coordonate este dată de ecuația hiperbola
în cazul în care. O ecuație a formei (1) este numită ecuația canonică a hiperboliei. Cu această alegere de sistem de coordonate, axele de coordonate sunt axele de simetrie ale hiperbola și originea - (. Fig) centrul de simetrie. Axele de simetrie ale unei hiperbola sunt numite pur și simplu axele acesteia, centrul simetriei este centrul hiperboliei. Hyperbola traversează una dintre axele sale; Punctele de intersecție sunt numite vârfurile hiperboliei. În Fig. Vârfurile hiperbolai sunt punctele A 'și A.
Dreptunghi cu laturile 2a și 2b, dispuse simetric în raport cu axa hiperbola și raportarea la nodurile, numite hiperbola dreptunghi de bază.
O lungime de 2a și 2b, care leagă punctele mediane ale principale hiperbola dreptunghi, numit, de asemenea, axele sale. diagonal principal al dreptunghiului (cele extinse la infinit) sunt asymptotes de hiperbolă, ecuațiile lor sunt
definește o hiperbolă simetrică în raport cu axele de coordonate, cu focare pe axa de coordonate; Ecuația (2), asemănătoare ecuației (1), se numește ecuația canonică a hiperbolei; în acest caz, diferența constantă a distanțelor față de un punct arbitrar al hiperboliei față de focare este 2b.
Două hiperbola, care sunt definite prin ecuații
în același sistem de coordonate se numește conjugat.
Hiperbola cu semiaxuri egale (a = b) se numește echilateral; ecuația canonică are forma
unde a este distanța de la centrul hiperbolă la vârful ei, se numește excentricitatea hiperboliei. Evident, pentru orice hiperbolă. Dacă M (x, y) - un punct arbitrar al hiperbola, iar segmentele (.. A se vedea figura) sunt numite punctului focal raze M. punct focal raze de dreapta ramură hiperbola se calculează prin formule
Radiografiile focale ale punctelor de pe ramura stângă sunt date de formule
Dacă hiperbola este dată de ecuația (1), atunci liniile definite de ecuații
se numesc direcțiile sale directe (vezi figura). Dacă hiperbola este dată de ecuația (2), atunci direcțiile directe sunt definite prin ecuații
Fiecare directricea are următoarea proprietate: dacă r - distanța de la punctul arbitrar la un focar de hiperbolă, d - distanța de la același punct la unilateral cu acest accent directricea, raportul r / d este o constantă hiperbolă egal ekstsentrisistetu:
O parabolă este locul punctelor, pentru fiecare dintre acestea distanța până la un anumit punct fix al planului numită focalizare este egală cu distanța către o anumită linie fixă numită directrix. Obiectivul parabolei este notat cu litera F, distanța de la focalizare la direcție este dată de litera p. Numărul p este denumit parabola.
Să fie dată o parabolă. un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular, astfel încât axa x trece prin punctul central al parabolei și perpendicular pe directricea a directricea a fost direcționată către focalizarea; originea va fi plasată în mijloc între focalizare și regizor (Fig.). În acest sistem de coordonate, această parabolă va fi determinată de ecuație
Ecuația (1) se numește ecuația canonică a unei parabole. În același sistem de coordonate, direcția directă a unei parabole date are o ecuație
Raza focală a unui punct arbitrar M (x; y) al unei parabole (adică lungimea unui segment F (M) poate fi calculată prin formula
O parabolă are o axă de simetrie, numită axa parabolului, cu care se intersectează la un singur punct. Punctul de intersecție al unei parabole cu o axă se numește vârful acesteia. Cu selecția de mai sus a sistemului de coordonate, axa paralolului este aliniată cu abscisa, vârful este la origine, întreaga parabolă se află în jumătatea dreaptă.
Dacă sistemul de coordonate este aleasă astfel încât axa x aliniată cu axa parabolei, originea - cu un vârf, dar parabolei se află în stânga semiplanul (fig.), Ecuația sa va avea forma
În cazul în care originea este la vârf și axa coordonatelor coincide cu axa, parabola va avea o ecuație
dacă se află în jumătatea superioară a planului (Fig.) și
dacă în jumătatea inferioară a planului (Fig.)
Fiecare dintre ecuațiile parabolei (2), (3), (4), cum ar fi ecuația (1), se numește canonică.
Capitolul 1. Axa și un segment al unei axe. Coordonează linia
Linia pe care se alege direcția pozitivă se numește axă. Segmentul axei, delimitat de unele puncte A și B, se numește direcție, dacă se spune care dintre aceste puncte este considerat începutul segmentului, care este sfârșitul. Un segment direcționat cu începutul A și capătul B este marcat de simbol. segment Axa Valoare direcționată este lungimea sa, luat cu semnul plus, în cazul în care direcția segmentului (adică direcția de la început până la sfârșit) coincide cu direcția pozitivă a axei, și cu semnul minus, dacă direcția opusă direcția pozitivă a axei. Valoarea segmentului este indicată printr-un simbol. lungimea sa este un simbol. Dacă punctele A și B coincid, segmentul definit de acestea este numit zero; în acest caz AB = BA = 0 (direcția segmentului zero trebuie considerată nedefinită).
Coordonata oricărui punct M al liniei drepte a (în sistemul de coordonate stabilit) este numărul x, egal cu valoarea segmentului OM:
Punctul O este denumit originea coordonatelor; coordonata proprie este zero. În continuare, simbolul M (x) înseamnă că punctul M are o coordonată x.
Dacă u sunt două puncte arbitrare ale liniei drepte a, atunci formula
exprimă valoarea segmentului. formulă
își exprimă lungimea.