logica propozițională
LOGICA DE SPEAVATORI, logica propozițională este o secțiune a logicii simbolice care studiază
declarații complexe formate din simplă și relația lor. Spre deosebire de logica predicatelor, declarații simple acționează astfel ca formarea integrală și structura lor internă nu este considerată, dar ia în considerare numai faptul că, prin care sindicatele și ordinea în care expresii simple sunt îmbinate în complexe. O declarație înseamnă ceea ce este exprimat într-o propoziție narativă.
În limbajul natural, există multe modalități de a formula roluri complexe de la simple. Vom alege cinci legături gramaticale bine cunoscute (sindicate): "nu", "și", "sau", "dacă. apoi "și" dacă și numai dacă ". Procesul de simbolizare a limbajului natural prin intermediul lingvisticii. constă în următoarele. Exemplele elementare se înlocuiesc cu variabilele propositional p, q, r. cu sau fără indici; legăturile gramatice de mai sus se numesc pachete propoziționale (logice) și, prin urmare, au primit următoarele denumiri și denumiri: - (negare), l (conjuncție), v (disjuncție), r> (implicare) și = (echivalență); și, în cele din urmă, paranteze (,) sunt utilizate, astfel încât să puteți grupa în mod diferit declarații și astfel să determinați ordinea operațiilor. Negarea este o banda cu un singur ligament, iar celelalte patru sunt ligamente duble. Exprimarea limbii lui L. in. vom numi orice succesiune a simbolurilor indicate mai sus. Unele dintre aceste expresii sunt construite corect. Aceste expresii sunt numite formule, definiția care este dată de următoarele reguli, în cazul în care literele A, B sunt utilizate ca meta variabile: 1) fiecare variabilă propozițională este o formulă; 2) dacă A și B sunt formule, atunci A, A, B, AVB, AZDB, A = B sunt de asemenea formule; 3) nici o altă expresie nu este o formulă. Astfel, regulile oferă o modalitate eficientă de a recunoaște dacă expresia unui L. este. formulă.
Acum, să facem două ipoteze de bază, pe care se bazează semantica teoriei literare clasice. I. Fiecare pronunțare simplă este fie numai adevărată, fie doar falsă (principiul dualității). "Adevărul" și "minciuna" se numesc valorile adevărului declarației și sunt notate cu I și A sau cu 1 și 0. II. Valoarea adevărului unei declarații complexe este determinată numai de valorile de adevăr ale propozițiilor simple care o compun (principiul extensivității). Aceasta înseamnă că pachetele propoziționale sunt semne ale funcțiilor de adevăr. Se pune întrebarea: ce funcții de adevăr corespund pachetelor noastre?
Un mod convenabil de a defini funcții de adevăr este un tabel în cazul în care partea stângă enumeră toate posibilele argumente care atribuie valori (variabile propoziționale), precum și dreptul - valoarea funcției în sine.
Să descriem această metodă verbal. Dacă instrucțiunea p este adevărată, atunci afirmația -<р ложно; и наоборот: если ->p este adevărat, tor este fals. O afirmație de q este adevărată dacă și numai dacă (tm), când ambele instrucțiuni p și q sunt adevărate. Instrucțiunea p v q este falsă tt. când ambele declarații p și q sunt false. Instrucțiunea p z> q este falsă dacă p este adevărată și q este falsă; În alte cazuri, propoziția p 3 q este adevărată. Instrucțiunea p = q este adevărată. când ambele instrucțiuni p și q iau aceleași valori.
Fiecare formulă definește o anumită funcție a adevărului, care poate fi reprezentată grafic printr-o tabelă de adevăr. Formula poate fi astfel încât fiecare linie este nevoie doar de o valoare de AND, sau numai valoarea L. În primul caz este numit tautologie (identic adevărat enunț), iar al doilea - contradicția (declarație falsă identic). În logica formală, tautologiile joacă un rol important. Acestea servesc la înregistrarea legilor sale (vezi Legea logică), deoarece tautologiile sunt întotdeauna adevărate afirmații numai în virtutea formei lor simbolice, indiferent de conținutul declarațiilor inițiale conținute în ele. Este ușor de stabilit că formulele A A, A v → A, -A n-iA) sunt tautologii. Legile exprimate de aceste formule sunt numite, respectiv, legea identității, legea părții excluse și legea necontradicției.
Să ne acordăm atenția asupra proprietății extrem de importante a tabelelor de adevăr: ne dau o procedură eficientă pentru a decide dacă o anumită formulă propozițională este o tautologie. Această procedură se numește procedura de rezolvare și, prin urmare, rezultă că L. v. este o logică solvabilă (a se vedea problema Permisiuni). Dăm câteva fapte generale despre tautologii, atât de generale încât ele sunt numite regulile teoriei lingvistice.
1. Regula de separare (modus ponens). Dacă A și A Z) Într-o tautologie, atunci B este o tautologie.
2. Regula de substituire. Dacă A (p) este o tautologie, atunci A (B) este de asemenea o tautologie, unde B înlocuiește fiecare apariție a lui p; înlocuirea în tautologie duce la tautologie. Din aceasta rezultă că există un set infinit de tautologii.
Notă unele echivalență indicând vzaimovyrazimost alte prin ligamente: A L B H - (-, Av-iB), AvBH -, (-, AAnB), ADB = -.AvB, (A = B) = (AIE). l (BeA). Un sistem de legături propoziționale M se spune a fi completat dacă fiecare funcție de adevăr este reprezentată de o formulă în care doar intrări din sistemul M intră, Printr-un astfel de sistem se pot exprima toate funcțiile adevărului. Apoi sistemul de conectori - i, n, v, - n, - i, v și -> s sunt compleți. Aceasta înseamnă că putem construi LH. luând ca unul inițial oricare dintre aceste sisteme ligamentale. Se pare că sistemul total va fi compus dintr-un singur ciorchine |, care se numește „accident vascular cerebral Sheffer“: declarație PQ este adevărat atunci când fals că p și q sunt ambele adevărate. Suficiența pachetului rezultă din tautologiile -A = A | A, AvB = (AA) (BB).
Împreună cu noțiunea de tautologie fundamentală pentru L. v. este conceptul de consecință logică. Notația A | = B înseamnă că B rezultă logic din A, iar p = A înseamnă că A este o tautologie.
Dacă se definește conceptul de tautologie și se definește conceptul semantic de implicare logică, atunci se spune că este dată o noțiune semantică a lui L. și ea însăși L. in. este adesea identificată cu un set de tautologii sau cu chiar relația consecințelor logice. Cu toate acestea, o astfel de viziune ridică următoarea problemă serioasă: cum să cercetăm toate tautologiile, dintre care există un număr infinit? Pentru a rezolva această problemă, ei trec la reprezentarea sintactică a teoriei lingvistice.
Limba oficială (simbolică) a lui L. și conceptul formulei rămân aceleași, iar acum un întreg set finit de tautologii este ales din întreaga mulțime de tautologii, ale căror elemente sunt numite axiome. De exemplu. 1. p3 (q3p), 2. (p3 (
Calculul logic dat de un anumit set de axiome și un set de reguli de inferență se numește calculul Hilbert. Demonstrabil prin (sau teoremele) a acestei formule de calcul se referă la orice care poate fi obținută din axiomele aplicării (eventual multiple) a acestor reguli. Notatia | - A servește la scurtarea afirmației "A este o teoremă". Dacă formula A este derivabilă dintr-un set de formule T inițiale (chips-uri), atunci recordul are forma A-F (vezi. Logica de ieșire).
Plecând de la reprezentarea sintactică a lui L. in. acesta din urmă este adesea identificat cu un set de teoreme sau cu o relație de derivabilitate. În ciuda diferenței dintre abordările semantice și sintactice ale construcției unei biblioteci artificiale. Ambele abordări la construirea ecuațiilor liniare. sunt esențial echivalente și se spune că sunt adecvate. Aceasta înseamnă că noțiunile de consecință logică și conceptul de inferență sunt echivalente. Luați în considerare următoarea teoremă demnă de remarcat, numită uneori teorema de adecvare: pentru fiecare formulă A, -Atm. atunci când £ = A.
Dovada este una față-verso, și anume: pentru toate A, dacă | -A, atunci pA este numită teorema corectitudinii. Aceasta este condiția minimă pe care o cerem din calculul logic și anume că semantica pe care am prezentat-o este corectă pentru axiomatizarea aleasă. Rezultă că C2 este un calcul consistent. Reciproca Afirmația: fiecare tautologie este demonstrabilă, adică pentru orice formulă A, în cazul în care | = A - O dovadă a acestei teoreme se numește teorema privind caracterul complet al calculului propozițional pe semantica propuse. În esență, aici se afirmă că mijloacele logice, adică axiomele și regulile de inferență, calculul propozițiilor C2 este complet suficient pentru a dovedi toate tautologiile.
Prima Axiomatizarea C2 logicii clasice a fost făcută de G. Frege în 1879. Cu toate acestea, în ceea ce privește moderne axiomatizarea limbaj simbolic C2 a apărut în «Principia Mathematica» A. Whitehead și Bertrand Russell în 1910-1913. Prima publicare a caracterului complet al probelor apartine E. post (1921), care a venit de la sistemul Whitehead și Russell și au folosit două cifre de tabele de adevăr (de mai sus), pentru a dovedi caracterul adecvat al teoremei.
Acum putem da o caracterizare a ceea ce se numește clasicul lui L. a) C. se bazează pe principiul dublului (principiul dublului). B) C2 este maximă în sensul că nu are extensii consistente orice act adițional ca axiome orice formulă, nu este dovedit, fiind inconsistent, c) C este cel mai simplu semantica.
Prin modificarea, excluderea sau adăugarea altor axiome, se obține o logică propozițională non-clasică.
Vezi algebra logică, logică, logică simbolică.
AS Karpenko