logica propozitiilor (logica propozitiilor) - o secțiune logică, și de a studia modalități de a construi structura logică a enunțuri, relația dintre ele și constatările obținute prin operațiile logice ale conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență, negație, etc. Adesea în logică acest lucru este denotat de CLV - logica clasică a declarațiilor. Alfabetul logicii propoziționale include patru tipuri de simboluri:
Propunerile variabile înlocuiesc simple declarații. De exemplu, afirmația "ninge" poate fi marcată de simbolul p, zicala "suflă o furtună de zăpadă" - simbolul q, etc. Grupurile propozitive sunt concepute pentru a combina propozițiile simple cu cele mai complexe. Acestea includ:
Ú - disjuncția ("sau", "cel puțin unul dintre cele două" etc.)
Ú - o disjuncție strictă ("fie" sau "doar unul din cele două" etc.)
- o echivalență ("dacă și numai dacă", "echivalent" etc.)
Formulele în limba CLV se numesc expresii valide. Variabilele propoziționale însăși sunt deja formule (atomice). Formule mai complexe sunt obținute din cele atomice care utilizează ligamentele.
Definiția formulei. (1) Variabilele propoziționale sunt formule. (2) Dacă A și B sunt formule, atunci tA, AB, AÚB, AÚ B, AÉB, A B - și formule. (3) Nimic altceva nu este o formulă.
Exercițiul 1. Aranjați parantezele lipsă în formulele următoare:
a) p Ú Ø q r É s q Ú Ø p º Øs É q Ú r
b) p q º r s Ú q Ú Ø p É dispozitivele Ø Ú q r
Nu este greu să traducem declarații din limbaj obișnuit în limbaj natural. De exemplu, p înseamnă "Ivan Tsarevich îi iubește pe Marya", q - "Mary iubește pe Ivan Tsarevich", "Marya frumoasa", "Ivan Prințul e curajos". Apoi vor fi traduse următoarele propoziții:
- "Ivan Tsarevich este curajos și iubește pe Marya" p
- "Nu este adevărat că Maria este urâtă
sau Ivan Tsarevich nu-i place "Ø (Ør Ú Op)
"Dacă Marya este frumoasă și Ivan Tsarevich este curajos,
apoi se iubesc unii pe alții "(rs) É (Pq)
Semantica limbajului CLV se bazează pe două principii:
1) Principiul bivalenței. Fiecare variabilă propositional care înlocuiește o propoziție simplă poate fi adevărată sau falsă. Vom desemna adevărul ca 1. falsitate - ca 0.
2) Principiul compozitibilității. Valoarea adevărului unei formulări complexe este o funcție a valorilor adevărului variabilelor care intră în ea.
Astfel, fiecare pachet propozițional este tratat ca o adevărată funcție de adevăr. Pentru claritate, folosim tabelul de adevăr:
Există doar patru rânduri în acest tabel, deoarece formula conține doar două variabile - p și q. Primele două coloane specifică toate combinațiile posibile de adevăr comun și falsitate a acestor variabile. Următoarele cinci coloane arată cum semnificația fiecărei subformule va fi într-o anumită linie. Ultima coloană (care rezultă) prezintă valoarea întregii formule ca întreg.
În funcție de coloana rezultată a tabelului, se disting trei tipuri de formule: identic-adevărat. identic - fals și logic aleatoriu.
Identitatea - adevărată (universal valabilă) este o formulă care ia valoarea "1" în toate rândurile tabelului.
Identical-false (imposibil) este o formulă care ia valoarea "0" în toate rândurile tabelului.
Logic aleatoriu (de fapt executabil) este o formulă care ia "1" în unele rânduri ale tabelului și "0" în unele.
În exemplul de mai sus, formula este identică. Este întotdeauna adevărat, indiferent dacă variabilele propoziționale care o introduc sunt adevărate sau false. Cu alte cuvinte, această formulă exprimă o lege logică.
Exercițiul 2. stabilește într-o manieră tabulară, la ce tipuri apar următoarele formule:
a) Ø (p q) º (tp OQ)
b) (p É q) É (OQ É Op)
c) (p q q) (p Ú q)