Aplicând proprietățile de mai sus ale polinomilor, luăm în considerare schemele posibile de grafice ale polinomilor de gradul trei. Fie coeficientul de conducere al polinomului un număr pozitiv.
Polinomul are două puncte extreme, în acest caz derivatul său are două rădăcini distincte, adică discriminativul acestui trinomial pătrat. Această situație se reflectă în cazuri speciale când polinomul are trei rădăcini reale diferite x1. x2. x3. și de asemenea atunci când polinomul are două rădăcini distincte, dintre care unul are multiplicitatea doi. În acest caz, graficul are forma:
polinomul are 1 rădăcină, iar derivatul său are 2 rădăcini
Polinomul are 3 rădăcini, iar derivatul său are 2 rădăcini
polinomul are 2 rădăcini și derivatul său - 2 rădăcini
Polinomul nu are extrema, adică .
În acest caz, graficul este o funcție în creștere monotonică.
În mod similar, graficele parabolelor cubice sunt construite cu un coeficient negativ de conducere. Obținem un tabel rezumat al diferitelor tipuri de grafice de polinoame de gradul III:.
Exemplul 5.2.
Construiți un grafic de funcții.
Soluția.
Extinem polinomul în multiplicatori :. Notați cu privire la abscisă rădăcinile funcției: -2; 0; 2.
Pentru valori negative mari de x, valorile funcției sunt numere negative mari. Aplicarea proprietății de continuitate și proprietatea multiplicitatea (toate rădăcinile multiplicitate unul - până la punctul de intersecție al funcției se schimbă semnul). menționând că, în creștere nerestricționată a funcțiilor de valoare x tind la infinit plus, graficul construi graficul functiei.
Exemplul 5.3.
Construiți un grafic de funcții.
Soluția.
Polinomul are două rădăcini: x1 = -3 multipli de două și x2 = 1 multiplicitate unul.
Pentru valori negative mari, funcția presupune valori pozitive mari. Pe măsură ce argumentul se apropie de valoarea -3, valorile funcției scad și tinde la zero. La trecerea prin valorile de bază ale funcției nu se schimbă semnul (multiplicitate chotna rădăcină) în intervalul (-3, 1), funcția atinge maximul, deoarece x = -3 este din nou zero. La trecerea prin rădăcina x = 1 funcție schimba semnul de la pozitiv la negativ (multiplicitate de rădăcină este impară) și tinde la infinit la minus creșterea nelimitată în argument.