17. Dați un exemplu de secvență divergentă pentru care
lim (x n + p - x n) = 0, p N.
18. Fie un n, n N. Dovada că secvența de numere zecimale converge.
2.2.1 Punctul limită al unui set
Definiția 2.2.1. Fie X - un subset non-gol al setului R. Un punct se numește R un punct limită de X. Dacă U o vecinătate a unui punct există, cel puțin, unul care nu coincide cu. punctul setului X.
Definiție 2.2.2. Dacă un R și U a este un cartier
a, atunci setul U a \ se numește o cartiere perforată -
punctul a și este notat cu U a.
punctul limită al setului setului X.
Exemplul 2.2.3. Dacă X = N, atunci punctul limită al setului X este numai + ∞.
După cum se poate vedea din exemple, punctul limită al unui set poate să aparțină și să nu îi aparțină.
Teorema 2.29. Pentru ca punctul a R să fie un punct limită al setului X R, este necesar și suficient ca să existe o secvență de elemente ale setului X. diferită de a, convergând la a.
Necesitate. Fie ca un punct limită al setului X. Presupunem că un R. Atunci într-un cartier U a (1 / n), n N există un element al setului X \, pe care îl denotăm prin x n. consecvent
Proprietatea are următoarele proprietăți: x n X \, a - n 1 Suficiență. Fie ca secvența să fie astfel încât x n X, x n 6 = a, x n → a. Fixăm un cartier arbitrar U al punctului a. Prin definirea limitei unei secvențe, există un număr N = N (U a) astfel încât x n U a. n> N. Având în vedere că x n X \, obținem, că Ua conține un subset infinit al mulțimii X și, prin urmare, a este un punct limită al setului X. Teorema 2.30. Fiecare set infinit de numere reale are cel puțin un punct limită. Fie X o submulțime infinită a R. Este clar că există o secvență de elemente distincte pereche a mulțimii X. Prin teorema 2-20 secvența are cel puțin o limită parțială. Să presupunem că un P (). Atunci găsiți Există o subsecvență astfel încât a = lim x n k. Din moment ce x n k X, k N și toți, cu excepția uneia, sunt diferiți de a, atunci a este un punct limită al setului X. Notă. Orice set finit X R nu are puncte limită. În acest capitol vom presupune că X - un subset non-gol a setului de numere R reale, un - punct limită de X, și o funcție cu valori reale f definite pe X. Prin urmare, ori de câte ori, în viitor, va vorbi despre funcția f, înseamnă, cu excepția cazului în caz contrar altceva f. X → R. Definiția 2.2.3. Punctul A R este numit limita funcției f. X → R la punctul A (sau mai spune A - funcția limită f cu x tinde la a), dacă pentru orice vecinătate U A punctul A, există o vecinătate U un punct a, că imaginea fiecărui punct Notă. De la definirea limitei unei funcții rezultă că existența și valoarea limitei unei funcții f la a nu sunt afectate de valoarea funcției f la punctul a dacă X este; în plus, funcția f nu poate fi definită la punctul a. Având în vedere definiția unei cartiere a unui punct finit a R și definirea unei cartiere a simbolurilor infinite, observăm că definiția de mai sus a limitei unei funcții la un punct poate fi dată în termeni de Definiția 2.2.4 (în ceea ce privește Cauchy). Spunem că numărul A R este limita functiei f la punctul a R daca pentru orice numar ε> 0 exista un numar δ = δ (ε)> 0 astfel incat pentru orice x X indeplinind conditiile 0 <|x−a| <δ выполняется соотношение Reformăm în termenii "ε - δ" faptul că lim f = + ∞. Definiția 2.2.5. Noi spunem că a + ∞ este limita funcției f (x) la x → -∞, dacă pentru orice număr ε> 0 există un număr δ = δ (ε)> 0 astfel încât pentru toate punctele x X, satisfacand x <−δ. выполняется неравенство f(x)> e. Exemplul 2.2.4. Funcția f (x) = c, x R (c R), are o limită în Teorema 2.31 (Heine). Pentru ca A R să fie limita funcției f. X → R în punctul a R, este necesar și suficient ca, pentru orice secvență de puncte x n X \ convergând la a, secvența de imagini aflate sub harta f converge la A. Necesitate. Fie lim f (x) = A. Prin definirea limitei U A U a. x X ∩ U a f (x) U A. Dacă o secvență de puncte din setul X \ tinde la a, atunci există un număr N astfel încât x n U a pentru n> N. Prin urmare, f (x n) U A pentru n> N. Pe baza definiției limitei unei secvențe în R, concluzionăm că lim f (x n) = A. Suficiență. Să presupunem că pentru orice secvență de puncte din setul X \ care converge la a, secvența de imagini tinde să A. Pentru certitudine, presupunem că un R. Menționăm că A nu este o limită a funcției f în punctul a. Apoi este un astfel de cartier U A al punctului A astfel încât pentru orice n N din n-cartier litera a exista un element x n X \, pentru care f (x n) / U A. Este clar că x lim n = a si f (x n) 6 → A, în timp ce x n X \, n N, x n → a. Contradicția rezultată completează dovada. Cledstvie. Dacă există o secvență. x n X \, n N, x n → a, iar secvența nu are nici o limită, atunci2.2.2 Determinarea limitei unei funcții
Articole similare