Un sistem numeric este un set de numere care include un set de numere naturale și este închis în raport cu operațiile de adăugare, multiplicare și, eventual, altele.
De obicei, sistemul numeric presupune un anumit mod de a scrie numere (de exemplu, folosind cifre arabe 0,1, ..., 9) sau chiar mai multe variante posibile pentru un singur număr.
În plus, sistemul numeric poate fi dotat cu o structură suplimentară, de exemplu:
- comanda parțială sau completă (cu noțiunile "mai mult" sau "mai puțin"),
- metric (distanța între numere);
- normă (modulul unui număr).
1. Cel mai simplu sistem numeric este un număr natural. Ele apar în procesul de numărare - și, în primul rând, din cauza posibilității unei tranziții de la orice număr natural la altul. Cel mai strict acest sistem numeric, care a fost folosit din timpuri imemoriale, a fost descris de J. Peano. și numai în secolul al XIX-lea.
Numerele naturale pot fi adăugate împreună, multiplicate una cu cealaltă, scăzute de la cele mai mici, împărțite cu restul și uneori chiar complet. În acest caz, operațiile de scădere și împărțire (întregi) sunt definite ca inverse adiționale și multiplicare, adică permițând valorile cunoscute ale lui a și b să găsească valoarea lui x din ecuația a + x = b sau, respectiv, # 8729; x = b.
Finalizarea numerelor întregi pozitive cu numărul zero, care, spre deosebire de toate celelalte numere naturale, nu poate fi împărțită, chiar și cu restul, este posibilă în principiu, dar nesemnificativ. Cu toate acestea, uneori, numărul zero, prin definiție, este, de asemenea, considerat natural.
2. Apoi, pe de o parte, în cazul în care numerele naturale pentru a adăuga fracții (care apar în mod natural în diviziunea ceva în părți egale), veți obține o mulțime de numere raționale pozitive. În acest sistem numeric, puteți împărți orice număr în orice număr nenul (desigur, divizarea cu restul nu mai este utilizată aici).
Pe de altă parte, numerele întregi sunt obținute din aceleași numere naturale prin adăugarea la ele a zero și a numerelor negative. Acest sistem numeric este remarcabil prin faptul că poate scădea orice număr din orice. Apropo, spre deosebire de fracții, numere negative au apărut destul de târziu, abia în Evul Mediu: au cerut ca abstractizare mai multor matematicieni mai mare și a marcat nașterea algebră.
Dacă, totuși, reducem împreună cele două extensii, obținem un set al tuturor numerelor generale raționale (atât pozitive, cât și ne-pozitive). Este un sistem numeric minimal în care toate cele patru operații aritmetice sunt posibile.
3. De mult timp sa crezut că în natură nu există alt număr (cu excepția celor raționale): pur și simplu nu aveau nevoie. Cu toate acestea, după descoperirea teoremei lui Pitagora matematică a ajuns la concluzia paradoxală că ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu picioare de unitatea de lungime nu este la fel ar trebui să fie egală cu pătratul 2, iar acest număr rațional nu există (acest lucru grecii antici știau deja).
Astfel, prima apariție a numerelor iraționale este asociată cu funcționarea creșterii la gradul natural. Mai precis, cu inversul, nu mai este o operație aritmetică, ci o operație algebrică: extragerea unei rădăcini de grad natural a dintr-un număr natural b. și anume găsirea valorii lui x din ecuație. Cel mai mic sistem numeric care conține toate aceste rădăcini este numerele algebrice.
De altfel, numerele raționale sunt lipsesc, și pentru a efectua o altă operație, inversul exponentiation - logaritmare bazei naturale a unui ≠ număr natural de la 1 b. și anume găsirea valorii lui x din ecuație. De exemplu, logaritmul numărului 3 de pe baza 2 este irațional, deoarece numărul 2, în nici un grad rațional, nu dă 3.
4. Interpretarea geometrică a numerelor, ca lungimi ale diferitelor segmente, conduce în mod inevitabil la conceptul de linie dreaptă numerică. Dacă specificați originea în linie, direcția și unitatea de lungime, puteți stabili o corespondență unu-la-unu între toate punctele sale și toate numerele (nu numai cele pozitive). Ca rezultat, punctele liniei vor fi identificate cu numerele corespunzătoare.
Sistemul numeric rezultat definește numere reale sau reale. Linia numerică conține toate numerele algebrice, dar, așa cum sa dovedit, nu numai ele. În 1873, G. Cantor a demonstrat că în orice interval al liniei de număr există infinit multe alte numere transcendente. În același an Hermite a dat un exemplu concret al unui număr transcendental, care este numărul e. Și, în 1882, de asemenea, a fost dovedită și transcenderea pi.
În timpul creării unei teorii riguroase a numerelor reale matematicieni (în special, de Weierstrass, Dedekind, G. Cantor) a fost dezvăluit în cele din urmă complet al liniei numărul.
5. De la secolul al XVI-lea, cu mult înainte de construirea unei teorii riguroase a numerelor reale, în lucrările lui J. Cardano. A. de Moivre. L. Euler și mulți alți matematicieni au început construirea unui nou sistem numeric în care a fost posibil să se extragă rădăcina pătrată a numerelor negative.
Au apărut numere complexe, pentru vizualizarea căruia trebuia să treacă de la o linie dreaptă numerică la un plan complex numeric. În același timp, a existat o pierdere de ordonare liniară a numerelor. Dar o nouă operațiune adăugată asupra lor - conjugare complexă a fost găsită o interpretare geometrică elegantă a produsului lor, și, de asemenea, a arătat legătura lor naturală cu trigonometria transformări plan și a arătat o serie destul de remarcabil de proprietăți funcționale.
Încercările ulterioare de extindere a sistemului numeric obținut nu au avut succes. Ei au condus pe U. Hamilton la crearea în 1843 a teoriei quaternionelor, deși cu pierderea forțată a comutativității (comutativității) produsului.