Un număr irațional este un număr real. care nu este rațională. adică nu poate fi reprezentată ca o fracție m n >>. unde m este un număr întreg. n este un număr natural. Numărul irațional poate fi reprezentat ca o fracțiune zecimală infinită neperiodică.
Setul de numere iraționale este de obicei indicat de litera latină de capital I> cu caractere aldine fără umplere. Astfel: I = R ∖ Q = \ mathbb \ backslash \ mathbb>. adică mulțimea de numere iraționale este diferența dintre seturile de numere reale și raționale.
Cu privire la existența unor numere iraționale, mai precis, segmente. incomesurabilă cu segmentul de unitate de lungime, știa deja matematica antice: a fost cunoscut, de exemplu, incompatibilitatea diagonală și latura pătratului, ceea ce este echivalent cu irationalitatea 2 >>.
antichitate
Conceptul de numere iraționale a fost acceptată implicit de matematicieni indieni din secolul VII î.Hr., când Manava (ca. 750 BC -...... Ca. 690 BC) aflat că rădăcinile pătrate de numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi clar exprimate [sursa nu este specificată 571 zile].
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Gippas de la Metapont (aproximativ 500 î.Hr.), Pitagorean. În timpul Pythagoreans, sa crezut că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care intră într-un număr întreg de ori în orice segment [sursa nu este specificată 571 zile].
Nu există date exacte privind iraționalitatea a căror număr a fost dovedit de Hippas. Potrivit legendei, el la găsit studiind lungimea laturilor pentagramei. Prin urmare, este rezonabil să presupunem că aceasta a fost o secțiune de aur [sursa nu este specificată 542 zile].
Matematicienii greci au numit acest raport al cantităților incomensurabile alogos (inefabilă), dar, conform legendelor, Hippas nu a acordat respectul. Există o legendă care Hippasos a făcut o descoperire în timp ce în timpul călătoriei, și a fost aruncată alte pitagoreici „pentru crearea elementului de univers care neagă doctrina că toate entitățile din univers poate fi redus la numere întregi și relațiile lor.“ Deschiderea Hippasos confruntat matematica pitagoreice problemă serioasă, distrugând ipoteza care stau la baza întregii teorii că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Theodorus din Cyrene au dovedit irationalitatea rădăcinile numere naturale până la 17 (cu excepția, desigur, pătrate perfecte - 1, 4, 9 și 16), dar se opresc aici, ca în algebra set de instrumente nu este permis să dovedească irationalitatea rădăcina pătrată a 17. Despre ce , cum ar putea fi această dovadă, istoricii matematicii au făcut mai multe ipoteze diferite. În conformitate cu cea mai plauzibilă ipoteză a lui Jean Itar [2]. sa bazat pe teorema conform căreia un număr pătratic impar este divizibil de opt cu un rest de unu [3].
Mai târziu, Eudoxus din Cnidus (410 sau 408 î.Hr.-355 sau 347 î.Hr.) a dezvoltat o teorie a proporțiilor care ia în considerare atât relațiile raționale, cât și cele iraționale. Aceasta a servit drept bază pentru înțelegerea esenței fundamentale a numerelor iraționale. Valoarea nu a fost considerată ca număr, ci ca o desemnare a entităților, cum ar fi linii drepte, unghiuri, pătrate, volume, intervale de timp - entități care se pot schimba continuu (în sensul modern al cuvântului). Valorile au fost în contrast numere care pot varia doar „salturi“ de la un număr la altul, cum ar fi de la 4 la 5. Numerele sunt compilate din cea mai mică valoare indivizibile, iar valoarea poate fi redusă la infinit.
Deoarece nici o valoare cantitativă nu a fost comparată cu magnitudinea, Evdoks a reușit să captureze atât cantități comestibile, cât și cantități incomensurabile în determinarea fracției ca raport între două cantități și proporții ca egalitatea a două fracții. Eliminând valorile cantitative (numere) din ecuații, el a scăpat de capcana, constând în necesitatea de a apela valoarea irațională un număr. Teoria lui Eudox a permis matematicii greci să facă progrese incredibile în geometrie, oferindu-le justificarea logică necesară pentru lucrul cu cantități incomensurabile. Cartea celor 10 Elemente ale Euclid este dedicată clasificării cantităților iraționale.
Evul mediu
Evul mediu au fost marcate de adoptarea unor astfel de concepte ca zero, numere negative, numere întregi și fracționate, mai întâi de indieni, apoi de matematicieni chinezi. Mai târziu, matematicienii arabi s-au alăturat, care au fost primii care au considerat numere negative ca obiecte algebrice (împreună cu numere egale cu numere pozitive), ceea ce a permis dezvoltarea disciplinei denumită acum algebra.
Valoarea rațională [magnitudinea] este, de exemplu, 10, 12, 3%, 6% și așa mai departe, deoarece aceste cantități sunt pronunțate și exprimate cantitativ. Ceea ce nu este rațional este irațional și este imposibil să se pronunțe sau să se prezinte cantitatea corespunzătoare cantitativ. De exemplu, rădăcinile pătrate ale numerelor, cum ar fi 10, 15, 20 - nu sunt pătrate.
Spre deosebire de concepția lui Euclid că cantitățile sunt în primul rând linii drepte, Al Mahani a considerat numerele întregi și fracțiunile drept cantități raționale, iar rădăcinile pătrată și cubică sunt iraționale. El a introdus, de asemenea, o abordare aritmetică a setului de numere iraționale, deoarece el a arătat iraționalitatea următoarelor cantități:
rezultatul adăugării unei cantități iraționale și raționale, rezultatul scăderii unei variabile raționale de la o măsură irațională, rezultatul scăderii cantității iraționale de cel rațional.
matematician egiptean Abu Kamil (circa 850 AD -...... Ca. 930 AD) a fost primul care a crezut că este necesar să se recunoască numărul irațional de soluții de ecuații pătratice sau coeficienți în ecuațiile - în principal sub forma unui pătrat sau cubică rădăcini și, de asemenea, rădăcini de gradul al patrulea. În matematicianul irakian din secolul al X Al Hashimi a dat dovada de ansamblu (mai degrabă decât demonstrația geometrică vizuală) a produsului iraționalității, câtul, iar rezultatele altor transformări matematice ale numerelor iraționale și raționale. Al Hazin (900 AD - 971 d.Hr.) oferă următoarea definiție a magnitudinii raționale și iraționale:
Lăsați valoarea unitară conținută în valoarea unuia sau mai multe ori, atunci [această] valoare corespunde unui număr întreg ... Fiecare valoare care este de o jumătate sau o treime sau un sfert de o singură valoare, sau, în comparație cu o singură valoare este de trei cincimi este variabilă rațională. Și, în general, orice cantitate care se referă la unitate ca un număr la altul este rațională. Dacă valoarea nu poate fi reprezentată ca mai multe sau o parte (l / n) sau mai multe părți (m / n) de lungime a unității, aceasta este irațională, adică inefabilă altfel decât cu ajutorul rădăcinilor.
Multe dintre aceste idei au fost ulterior adoptate de matematicieni europeni după traducerea în arabă a textelor arabe din secolul al XII-lea. Al Hassar arab matematician din Maghreb, specializat în legea islamică de moștenire, în secolul al XII-lea a introdus notația matematică modernă simbolică pentru fracțiuni, împărțirea numărătorul și numitorul unei linii orizontale. Aceeași notație a apărut mai târziu în lucrările lui Fibonacci în secolul al XIII-lea. În secolele XIV-XVI. Mădhava de Sangamagrama și reprezentanți ai școlii Kerala de astronomie și matematică a studiat seria infinită converge unor numere iraționale, cum ar fi pi, și a arătat, de asemenea, iraționalitatea unor funcții trigonometrice. Dzhestadeva a dat aceste rezultate în cartea "Yuktibhaza".
Ora nouă
Fracții de lanț. în strânsă legătură cu numere iraționale (fracție continuă reprezentând acest număr este infinit dacă și numai dacă numărul este irațională), au fost investigați mai întâi de Cataldi în 1613 și apoi din nou a intrat în lumina reflectoarelor în Euler lucrează, iar la începutul secolului al XIX-lea - în lucrări ale Lagrange. Dirichlet a adus, de asemenea, o contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei fracțiilor continue. In 1761 Lambert folosind fracții continue a arătat că π este un număr rațional, și că e x> și tg x x> irațional pentru orice x rațional nenul. Deși dovada lui Lambert poate fi numită incompletă, este considerată a fi destul de strictă, mai ales având în vedere timpul în care a fost scris. Legendre în 1794, după introducerea funcțiilor Bessel - Clifford, a arătat că π 2> este irațională, iraționalitatea, unde π ar trebui să fie banală (un număr rațional în pătrat ar oferi rațional).
Existența numerelor transcendentale a fost dovedită de Liouville în 1844-1851. Mai târziu, Georg Kantor (1873) și-a arătat existența folosind o altă metodă și a susținut că orice interval al unui număr real conține numere transcendentale infinit de multe. Charles Hermite a dovedit în 1873 că e este transcendent, iar Ferdinand Lindeman în 1882, bazat pe acest rezultat, a arătat transcendența lui π. Dovada lui Lindemann a fost apoi simplificată de Weierstrass în 1885, simplificată în continuare de David Hilbert în 1893, și în cele din urmă adusă la un nivel aproape elementar de către Adolf Hurwitz și Paul Gordan.