Derivatul sumelor algebrice ale funcțiilor
este exprimată de teorema următoare.
Teoremă 1. Derivatul sumei (diferenței) a două funcții diferențiate este egal cu suma (diferența) derivatelor acestor funcții:
Corolar. Derivatul unei sume algebrice finite de funcții diferențiate este egal cu aceeași sumă algebrică a derivatelor sumelor. De exemplu,
(u - v + w) '= u' - v '+ w'
Derivatul unui produs al funcțiilor definește
Teorema 2. Derivatul produsului a două funcții este produsul primei funcții diferențiabile la derivata a doua, plus produsul unei a doua funcție pe primul derivat, r. F.
(uv) '= u'v + uv'
Corolarul 1. Factorul constant poate fi extras ca semnul derivatului (cv) '= cv' (c = const).
Corolarul 2. Derivatul produsului mai multor funcții diferențiate este egal cu suma produselor derivate ale fiecăruia dintre ele de către celelalte.
De exemplu, (uvw) '= u'vw + uv'w + uvw'
Derivatul unei anumite două funcții
este exprimată de teorema următoare.
Teorema 3. Derivatul unor funcții parțiale diferențiate este definit de formula
Este exprimat derivatul unei funcții complexe
Teorema 4. Dacă y = f (u) și u = ((x)) - funcțiile derivabile argumentelor lor, derivata unei funcții y compozit = f (f (x)) există și este egală cu produsul derivatului acestei funcții pe argumentul intermediar al derivatului argument intermediar cu privire la o variabilă independentă, adică,
Foarte des în problemele de matematică, derivatelor le sunt date funcții complexe, de exemplu, y = sin (cos5x). Derivatul unei astfel de funcții este -5sin5x * sin (cos5x)
Derivatul funcției inverse
Dacă y = f (x) și x = φ (y) sunt funcții diferențiate reciproc inverse, atunci