Metode pentru rezolvarea ecuațiilor raționale
Setul de ecuații raționale după tipul și metoda de soluționare poate fi împărțit în următoarele:
1. O soluție prin substituție. Când rezolvăm unele ecuații raționale, este logic să introducem o nouă variabilă, înlocuind-o cu o expresie rațională. De exemplu, în ecuația aP 2 (x) + bP (x) + c = 0, unde P (x) este un polinom, introducem o nouă variabilă y = P (x). Rezolvarea ecuației cuadratoare ay 2 + by + c = 0 (*) în raport cu y și revenirea la soluția ecuațiilor P (x) = yi. unde yi sunt soluții ale ecuației (*).
2. Ecuația de degradare. Ecuația rațional se numește degradabil dacă poate fi reprezentat ca P (x) Q (x) = 0, unde P (x) și Q (x) - sunt funcții raționale. Pentru a rezolva astfel de ecuații este necesară reprezentarea ecuației P (x) Q (x) = 0 ca set:
3. O ecuație omogenă de ordin a doua aP 2 (x) + bP (x) Q (x) + cQ 2 (x) = 0. Pentru soluția sa, luăm în considerare două cazuri. Origine - Q (x) = 0, ecuația se reduce la rezolvarea ecuației P (x) = 0. Al doilea caz - Q (x) ≠ 0, atunci ecuația originală poate fi împărțit în 2 Q (x) și se obține un (P (x ) / Q (x)) 2 + bP (x) / Q (x) + c = 0. introducem înlocuire P (x) / Q (x) = t, și se obține o ecuație pătratică la 2 + bt + c = 0. răspunsul include soluții din ambele cazuri.
4. Ecuația biquadratică este 4 + bx 2 + c = 0. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, înlocuim x 2 = t. x 4 = t 2. După înlocuirea cu noua variabilă, obținem ecuația cuadratoare la 2 + bt + c = 0 (*). Rezolvând-o, ajungem la ecuația x 2 = ti. unde ti sunt rădăcinile ecuației (*).
6. Ecuația simetrică a celei de-a patra ordine 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0. Grupează termenii și împărțim ambele părți cu x 2. Obținem
Noi facem substituția x + 1 / x = t. atunci x 2 + 1 / x 2 = t 2 - 2. Obtinem ecuatia patratica 2 + bt + (c - 2a) = 0. Dupa rezolvarea ei revenim la variabila initiala x.
7. Ecuația de retur. O ecuație a formei ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, unde a ≠ 0, b ≠ 0 și e / a = (d / b) 2. se numește ecuația inversă a patra ordine. Pentru a rezolva aceasta, împărțiți ecuația cu x 2 și introduceți variabila t = bx + d / x. atunci obținem ecuația cuadratoare la 2 / b 2 + t + c - 2ad / b = 0. Rezolvând-o, vom reveni la variabila inițială.
9. Ecuația vidaP (x) / Q (x) = 0. Rezolvarea ecuației P (x) = 0. Verificam ceea ce este valoarea lui Q (xi), unde xi - rădăcinile P (x) = 0. Dacă Q (xi ) ≠ 0, atunci ele sunt o soluție a ecuației inițiale. Dacă Q (xi) = 0 - rădăcina cade din domeniul definiției inițiale a ecuației și trebuie să fie exclusă din răspuns.
10. Ecuația formei P (x) / Q (x) + bQ (x) / P (x) + c = 0. Introducem noua variabilă t = P (x) / Q (x) t + c = 0. Sau, după înmulțirea cu t (t ≠ 0), obținem ecuația cuadratoare la 2 + ct + b = 0. Rezolvând-o, vom reveni la variabila inițială.
11. O ecuație constând din suma fracțiunilor. Una dintre metode este să transferăm toți termenii ecuației la o parte și să reducem ecuația la forma P (x) / Q (x) = 0.