Determinant (determinant) ordinul n-lea corespunzătoare matricei (1) se numește suma algebrică a n! termeni, compus în conformitate cu termenii regulii sunt toate produsele n elementele de matrice, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană, termenul este luat cu semnul plus în cazul în care exponenții constituie chiar permutare și cu semn negativ altfel (2).
unde A este o matrice pătrată de ordin n
unde det A, | A |, | a j k | - desemnarea determinantului matricei A; sumarea este peste toate permutările posibile k1, k2. kn.
Calculul determinanților conform regulii (2) este o procedură foarte greoaie și consumatoare de timp. Faptul că pentru a calcula determinantul ordinii a patra, trebuie să scriem 4! = 24 de termeni, iar pentru determinantul ordinii a cincea - deja 5! = 120, face ca această formulă să fie nepotrivită pentru calcule practice. Pentru a simplifica problema calculării factorilor determinanți, se utilizează metode speciale bazate pe utilizarea proprietăților matricelor și determinanților.
Metoda 1 - Aduceți matricea într-o vedere "triunghiulară".
Din formula (2) rezultă că determinantul unei matrice triunghiulare (matrice în care toate elementele sunt dispuse sub diagonala principală sunt egale cu 0) este egală cu produsul elementelor diagonale, adică
Toate celelalte summe ale determinantului conțin zero ca factor și, în consecință, egal cu zero.
Prin urmare, pentru a găsi determinantul unei matrici arbitrare, este suficient să o aducem într-o formă triunghiulară. Pentru a face acest lucru, folosim următoarele două proprietăți ale factorilor determinanți:
Proprietatea 1. Determinantul nu modifică valoarea sa, în cazul în care toate elementele unui rând (coloană) a matricei pentru a adăuga elementele corespunzătoare ale rândului paralel (coloana) înmulțit cu arbitrară și același număr.
Proprietatea 2. Atunci când două coloane arbitrare sau rânduri ale unei matrice sunt schimbate, determinantul se schimbă semn cu cel opus, iar valoarea absolută a determinantului rămâne neschimbată.
Pe baza acestor proprietăți ale determinanților, compilam un algoritm de calcul:
- Luați în considerare rândul i (începând cu prima). Dacă elementul a i i este egal cu zero, schimbăm rândurile i-a și i + 1-a din matrice. Semnul determinantului se modifică la cel opus. Dacă un 1 1 este nenul, treceți la pasul următor;
- Pentru fiecare linie j, sub i-a, găsim valoarea coeficientului Kj = a j i / a i i;
- Recalculați elementele tuturor rândurilor j, situată sub curent rândul i, utilizând coeficienții respectivi cu formula: j k nou = j k -Kj * a i k ;. După aceea, revenind la primul pas al algoritmului si uita-te la linia următoare, până când vom ajunge la rândul i = n-1, unde n - dimensiunea matricei A
- În matricea triunghiulară obținută se calculează produsul tuturor elementelor diagonale principale Pa i i. care va fi determinantul;
Cu alte cuvinte, esența metodei poate fi formulată după cum urmează. Trebuie sa facem toate elementele matricei sub zero principala diagonala. Mai întâi primim zerouri în prima coloană. În acest scop se scade în mod constant primul rând, înmulțirea prin ne numărul dorit (astfel încât am obținut prin scăderea elementului zero în primul rând), toate din rândul de jos culcat. Apoi facem același lucru pentru al doilea rând pentru a obține zerouri în a doua coloană sub diagonala principală a matricei. Și așa până când ajungem la penultima linie.
R336709263964 - WebMoney 41001419134483 - Yandex Money