2. Împărțim un segment arbitrar în părți cu puncte
și alegeți un punct arbitrar pe fiecare segment parțial. așa că.
3. Restaurați perpendiculele în puncte înainte de a se intersecta cu graficul.
4. Desenați linii drepte paralele cu axa prin punctele obținute. obținem o cifră în trepte.
5. Zona trapezoidului curbilinar este aproximativ egală cu aria figurului pas cu pas:
6. Este evident că atunci când. unde aria figurului pas cu pas tinde spre zona trapezoidului curbilinar.
7. Pe de altă parte, aria fracțiunii pas este suma integrală pentru un integrat definit.
8. Deoarece prin ipoteza teoremei funcția este continuă pe un interval. atunci limita acestei sume există și este egală cu un integral definitiv al funcției în ceea ce privește:
9. În consecință, suprafața trapezoidului curbilinar este numeric egală cu integritatea definită a funcției pe segment:
Semnificația geometrică a teoremei: un integru definit al unei funcții continue nonnegative pe un interval este numeric egal cu aria trapezoidului curbilinar cu baza. delimitată mai sus de graficul funcției.
Zona figurinei situată sub axa Ox
Teorema 4. Fie funcția continuă pe intervalul u. adică, curba și trapezul curbilinar mărginit de dedesubtul acestei curbe se află sub axă. Apoi, zona trapezului curbilinar. este determinată de formula:
1. Desenați imaginea în funcție de condiția teoremei.
2. Luați în considerare funcția.
3. Această funcție este non-negativă și continuă. iar graficul său se află deasupra axei.
4. Trapezoidul curbilinar, delimitat mai sus de graficul funcției pe segment, este o imagine oglindă a trapezului original.
5. Prin urmare, cifrele sunt congruente (egale), iar proprietatea zonelor din zona lor este egală.
6. Zona trapezoidului curbilinar este exprimată prin formula:
7. Prin urmare, prin aceeași formulă, aria unui trapez dat este determinată de ipoteza teoremei. ore, etc.
Zona unei figuri într-un sistem de coordonate carteziene
1. Considerăm acum un caz mai general atunci când anumite părți ale curbei se află deasupra axei. și altele - sub axă.
2. Desenați imaginea:
3. Acum, în conformitate cu cele două teoreme precedente, zona cifrei va fi definită după cum urmează:
Zona figurinei, delimitată deasupra și dedesubt
1. Definiți aria figurii, delimitată mai jos și deasupra graficelor funcțiilor. . . pentru oricine. în cazul în care. - funcții continue și nonnegative.
2. Desenați imaginea:
3. Deoarece ambele funcții sunt non-negative, atunci această zonă a figurii este egală cu diferența dintre cele două zone ale trapeze curbilinii delimitate de mai sus, respectiv, și graficele funcțiilor.
4. În consecință, aria cifrei este determinată de formula:
Notă. Această formulă va fi valabilă dacă și numai dacă sunt luate valori negative.