Ecuația de mișcare a unui pendul matematic
Acum este imposibil să verificăm legenda despre modul în care Galileo, Stând la rugăciunea din catedrală, a urmărit cu atenție rularea candelabrelor de bronz. Observată și determinată timpul petrecut de candelabru asupra mișcării înainte și înapoi. Acest timp a fost numit mai târziu perioada de fluctuații. Galileo nu avea un ceas, și pentru a compara perioada de oscilații a candelabrelor suspendate pe lanțuri de diferite lungimi, el a folosit frecvența bate a pulsului său.
Pendulurile sunt folosite pentru reglarea cursului ceasului, deoarece orice pendul are o perioadă de oscilații destul de precisă. Pendulul găsește, de asemenea, o aplicație importantă în explorarea geologică. Se știe că în diferite părți ale globului valorile lui g sunt diferite. Ele sunt diferite pentru că Pământul nu este chiar mingea potrivită. În plus, în locurile în care apar roci dense, de exemplu, unele minereuri metalice, valoarea g este anormal de ridicată. Măsurătorile precise ale lui g, cu ajutorul unui pendul matematic, uneori permit găsirea unor astfel de depozite.
Ecuația de mișcare a unui pendul matematic
Pendulul matematic este un punct material greu care se mișcă fie de-a lungul unui cerc vertical (un pendul matematic matematic), fie asupra unei sfere (un pendul sferic). În prima aproximare, un pendul mic poate fi considerat un pendul matematic suspendat pe un fir flexibil inextensibil.
Să considerăm mișcarea unui pendul matematic matematic, de-a lungul unui cerc cu raza l, cu centrul în punctul O (figura 1). Vom determina poziția punctului M (pendul) de unghiul de abatere j al razei OM de la verticală. Prin direcționarea tangentei M t la un unghi pozitiv de unghi j, compunem ecuația naturală de mișcare. Această ecuație este formată din ecuația de mișcare
mW = F + N. (1)
unde F este forța activă care acționează asupra punctului și N este reacția de cuplare.
Ecuația (1) a fost obținută prin a doua lege a lui Newton, care este legea fundamentală a dinamicii și care spune că derivarea timpului de mișcare a unui punct material este egală cu forța care acționează asupra ei,
Presupunând că masa este constantă, putem reprezenta ecuația anterioară în formă
unde W este punctul de accelerație.
Astfel, ecuația (1) în proiecție pe axa t ne va da una dintre ecuațiile naturale de mișcare a unui punct de-a lungul unei curbe fixe netede date:
În cazul nostru, obținem în proiecție pe axa t
,
unde m este masa pendulului.
Deci, cum sau. de aici găsim
.
Reducerea de m și punerea
. (3)
vom avea în sfârșit:
. (4)
Considerăm mai întâi cazul oscilațiilor mici. Lăsați în momentul inițial pendulul să fie deviat de verticală cu un unghi de j și să coboare fără viteza inițială. Apoi, condițiile inițiale vor fi:
la t = 0 ,. (5)
Din energia integrală:
. (6)
unde V este energia potențială și h este constanta de integrare, rezultă că în aceste condiții, în orice moment, unghiul este jjj0. Valoarea constantei h se determină din datele inițiale. Să presupunem că unghiul j0 este mic (j0 Ј1); atunci unghiul j va fi, de asemenea, mic și putem pune aproximativ sinj j. În acest caz, ecuația (4) ia forma
. (7)
Ecuația (7) este ecuația diferențială a unei oscilații armonice simple. Soluția generală a acestei ecuații are forma
. (8)
unde A și B sau a și e sunt constante ale integrării.
De aici găsim imediat perioada (T) a oscilațiilor mici ale pendulului matematic (perioada este intervalul de timp în care punctul revine la poziția sa anterioară cu aceeași viteză)
,
deoarece păcatul are o perioadă egală cu 2p, apoi wT = 2p Ю
Pentru a găsi legea mișcării în condițiile inițiale (5), se calculează:
. (10)
Înlocuind valorile lui (5) în ecuațiile (8) și (10), obținem:
și anume B = 0. În consecință, legea propunerii de oscilații mici în condițiile (5) va fi:
j = j0 cos wt. (11)
Acum găsim soluția exactă a problemei unui pendul matematic matematic. Mai întâi determinăm primul integral al ecuației de mișcare (4). deoarece
,
apoi (4) pot fi reprezentate în formă
.
Prin urmare, înmulțind ambele părți ale ecuației cu d j și integrând, obținem:
. (12)
Denumim aici prin j0 unghiul de deviație maximă a pendulului; atunci pentru j = j0 avem. de unde C = w 2 cosj0. Ca rezultat, integralele (12) dau:
. (13)
unde w este definit de (3).
Acest integral este un element integrat al energiei și poate fi obținut direct din ecuație
. (14)
unde - lucrăm la deplasarea forței active M0M F. dacă luăm în considerare faptul că în cazul nostru v0 = 0 și (a se vedea figura).
Se vede din ecuația (13) că, atunci când pendulul se mișcă, unghiul j va varia între valorile + j0 și -0 (jjjjj0, deoarece), adică pendulul va oscila. Suntem de acord să numărăm timpul t din momentul în care pendulul trece prin OA vertical când se mișcă drept (vezi Fig.). Apoi avem condiția inițială:
În plus, atunci când se deplasează de la punctul A va exista; extragerea rădăcinii pătrată a ambelor laturi ale (13), obținem:
.
Împărțind variabilele de aici, vom avea:
.
Înlocuind acest rezultat în ecuația (16), obținem:
Pentru a integra ecuația (17), trebuie să găsim quadratura laturii stângi. Pentru a face acest lucru, trecem de la j la noua variabilă a, presupunând:
.
Înlocuind toate aceste cantități în ecuația (17) și înlocuind w cu valoarea sa (3), obținem:
Prin condițiile inițiale adoptate (15) pentru t = 0, unghiul j = 0 și, în consecință, așa cum se vede din (18) și a = 0. Apoi, luând din ambele părți ale ecuației (19) anumite integrale în dreapta de la 0 la t. iar la stânga de la 0 la a, obținem legea de mișcare a pendulului în formă
Integralul din partea stângă a (20) este un element eliptic integrat de primul tip. Cantitatea k este numită modulul integral al elipticului. Acest integral este o funcție a limitei superioare și a modulului, adică
. (21)
Dacă în (21) luăm în considerare limita superioară a unei funcții a integratului u. atunci o astfel de funcție este numită amplitudinea u și este notată ca:
Luând sinusul din ambele părți ale (22), obținem:
Funcția snu (sine-amplitudinea u) este așa-numita funcție Jacobi eliptică. Deoarece, conform Eq. (20), atunci, trecând în egalitatea (23) de la a la j cu ajutorul formulei (18), găsim legea mișcării pendulului, exprimată funcția eliptică sn, sub forma