Combinatorics se implică în compilarea de seturi de seturi de date de diferite combinații cu proprietăți date și numărarea numărului acestora.
Subiectele combinatoricii moderne, după cum indică matematicienii Aigner MR. Vilenkin N.Ya. Antipov I.N. diverse: probleme enumerative și extreme, probleme de existență, alegere și locație, interpretări geometrice și algebrice. Metodele combinatoriale sunt utilizate pentru a rezolva problemele de transport, în special probleme de planificare, pentru elaborarea planurilor de producție și vânzări de produse. Se stabilesc relațiile dintre combinatori și problemele de programare liniară, statistică etc. Combinatorics este folosit pentru a compune și a decoda cipuri și pentru a rezolva alte probleme de informare.
După cum subliniază M. Aigner, "metodele combinatoriale joacă, de asemenea, un rol important în probleme pur matematice - teoria grupurilor și a reprezentărilor lor, studiul bazelor geometriei, algebrelor non-asociative și așa mai departe".
În ultimii ani, combinatoricii s-au dezvoltat într-o ramură independentă de matematică discretă, a cărei capabilități în aplicații la computere și științe naturale încep să se realizeze.
Din punctul de vedere al teoriei seturilor, combinatoria studiază subseturi de seturi finite, uniunile și intersecțiile lor, precum și diverse modalități de ordonare a acestor subseturi.
În literatura matematică se remarcă trei trăsături distincte ale problemelor combinatoriale, care sunt următoarele:
1. Toate obiectele descrise în sarcini constau din elemente discrete distincte;
2. Seturile acestor elemente sunt finite.
3. Avantajul este dat la două tipuri de operațiuni: selectarea subseturilor și ordonarea elementelor setului.
Problemele combinatoriale din punctul de vedere al teoriei seturilor sunt problema determinării numărului de seturi finite posibile sau tuple cu anumite proprietăți care pot fi alcătuite din aceste elemente; sau potrivirea numărului, care poate fi stabilită între elementele seturilor finite.
Prin natura compușilor obținuți, problemele combinatoriale sunt foarte diverse. Acest lucru este legat de varietatea permisă a elementelor de seturi și de capacitatea de a introduce anumite restricții asupra obiectelor care urmează să fie create, folosind diferite moduri de comandă. Problemele pot include întrebări privind existența unor configurații combinatoriale, algoritmi pentru construirea lor, optimizarea unor astfel de algoritmi și întrebări privind determinarea numărului tuturor configurațiilor posibile.
Metodele de rezolvare a problemelor combinatoriale sunt de obicei împărțite în două grupe: "formale" și "informale". În modul "formal" de rezolvare este necesar să se determine caracterul eșantionului, să se aleagă formula adecvată sau principiul combinatorial pentru a înlocui numerele și a calcula rezultatul. Rezultatul este numărul de opțiuni posibile, opțiunile însăși nu se formează în acest caz. Regulile combinatoriale de bază sunt adunarea, multiplicarea.
Un exemplu de soluție a problemelor combinatoriale printr-o metodă formală poate servi drept următoarele sarcini:
Sarcina. 1. Câte dicționare trebuie să traduceți direct din oricare dintre cele cinci limbi în una din cele cinci limbi?
Soluția. Numărul de dicționare coincide cu numărul de subseturi comandate care conțin două elemente din cinci. Pentru această traducere trebuie să aveți 20 de dicționare.
Problema 2. Trei puncte sunt luate pe prima linie și patru puncte pe linia paralelă cu ea. Câte triunghiuri există, ale căror noduri sunt aceste puncte?
Soluția. Triunghiul este determinat în mod unic de trei puncte-noduri care nu aparțin aceleiași linii. Dacă luăm unul dintre cele trei puncte pe prima linie dreaptă ca vârful triunghiului, atunci pentru a obține un triunghi, pe a doua dreaptă trebuie să alegem două puncte din cele patru puncte disponibile. Dacă un punct - vârful a patru este selectat pe a doua linie dreaptă, atunci două puncte din trei trebuie să fie alese pe prima linie dreaptă. Aplicând regulile de multiplicare și adăugare, găsim 30 de triunghiuri.
Problema 3. Câte numere diferite de patru cifre există în sistemul de numere din cinci cifre?
Soluția. Un număr de patru cifre nu poate porni de la zero. Prin urmare, primul loc în număr poate lua una din cele patru cifre. Alegerea fiecăreia dintre cele trei cifre rămase ale numărului poate fi făcută în cinci moduri. Folosind regula de multiplicare, primim 500 de numere.
Modul "informal" de rezolvare a problemei este procesul de compilare a diferitelor configurații combinatoriale. Și sarcina sa principală este de a găsi rapid și corect toate opțiunile posibile.
Căile informale de rezolvare a problemelor combinatoriale includ o căutare directă. Acesta este cel mai elementar mod, pentru că nu necesită cunoașterea definițiilor și formulelor. Prin urmare, este recomandabil să-l folosiți în clasele inițiale.
Metoda de enumerare este folosită pentru rezolvarea problemelor din cele mai vechi timpuri. În viața modernă se utilizează atât în activități practice, cât și pentru rezolvarea problemelor grave în matematică și informatică, în legătură cu apariția computerelor electronice care bustă cu un număr mare de elemente într-un timp scurt.
În plus față de termenul "bust" din literatură, puteți găsi și alții: "metodă de încercare și eroare", "metodă de încercare", "eșantionare vizată", "metodă de selecție și presupunere".
Cu cât mai mult succes în sensul denumirii va fi "modul de căutare", adică Modul în care trebuie să rezolvi, să revedeți toate opțiunile posibile și să arătați că nu pot exista altele. Este important modul în care procesul de enumerare este organizat, deoarece dacă acționați la întâmplare, haotic, nu puteți fi sigur că se găsesc toate combinațiile posibile. Pentru a evita acest lucru, trebuie să efectuați bustul într-un anumit sistem.
Pentru a face acest lucru, utilizați tabele combinatoriale, grafice, "arbori de decizie".
Pentru a efectua o căutare completă, puteți folosi tabelele combinatoriale pentru a nu pierde nici o combinație: o matrice și o tabel numeric.
O matrice este o tablă de elemente dreptunghiulare. Rândurile orizontale sunt numite rânduri, rândurile verticale sunt numite coloane. Elementele unei matrice pot fi orice obiecte: număr, litere etc.
O tabel numeric este un tabel cu caracteristici numerice ale mulțimilor (ele dau adesea cea mai bună modalitate practică de a rezolva orice întrebare).
Tabelele combinatoriale sunt utile pentru elaborarea diferitelor configurații (și destinații de plasare, permutări și combinații).
În matematică se consideră că graficul exprimă relațiile dintre mulțimi și elementele seturilor. "Count" - de la grepho "grapho" - "eu scriu".
Prin definiție, N.Ya. Graficul Vilenkina este un set format dintr-un număr finit de puncte, unele perechi din care sunt legate prin arce (astfel de grafice sunt numite ne-orientate, dacă săgețile sunt folosite în loc de arce, atunci vom obține un grafic orientat sau digraph). "
A.M. Pyshkalo, Stoilov LP Rozhdestvenskaya V.V. un grafic este numit un "desen special care constă din puncte și linii care merg de la un punct la altul".
În caz contrar, putem spune că graficul este o colecție de puncte, săgeți, linii, bucle. Așa cum subliniază N. Vilenkin. "Punctele reprezentând elementele setului considerate în problemă se numesc nodurile graficei". "Săgeata de pe grafic, a cărei început și sfârșit coincid, se numește o buclă".
Analiza particularităților problemelor combinatoriale și metodele de rezolvare a acestora ne permit să tragem următoarele concluzii:
1. La compunerea problemelor combinatoriale pentru elevii din clasele primare au fost utilizate diferite tipuri de conexiuni, care sunt legate de aranjamente, aranjamente, combinații.
2. Principala metodă de rezolvare a problemelor combinatoriale într-o școală elementară poate fi informală, deoarece ia în considerare particularitățile de gândire ale elevilor de vârstă școlară și nu necesită introducerea de informații suplimentare în program.
3. Se poate presupune că, ca mijloc de rezolvare a problemelor combinatoriale, elevii mai tineri sunt destul de disponibili în ceea ce privește enumerarea, compilarea tabelelor și construirea de grafice.